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Ungleichungen: Tipp, Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Do 06.11.2014
Autor: Nicky-011

Aufgabe
Ermitteln Sie sämtliche Lösungen [mm] x\in\IR [/mm] der folgenden Ungleichung:

[mm] x^{3}-x^{2}< [/mm] 2x

Hallo,
ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen.

ich dachte ich fange erst einmal so an:
[mm] x(x^{2}-x)<2x [/mm]
[mm] x^{2}-x<2 [/mm]
[mm] x^{2}-x-2>0 [/mm]

und dann die p-q Formel und würde dann diese werte für x erhalten:
[mm] x_{1}=0; x_{2}=2,08; x_{3}=-1,08 [/mm] ....

allerdings weiß ich nicht ob ich das so machen darf, und ich habe auch immer Probleme ob bzw wann sich das < zum > wandelt ...

Ich wäre euch sehr Dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte!



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Do 06.11.2014
Autor: DieAcht

Hallo Nicky-011 und [willkommenmr]!


> Ermitteln Sie sämtliche Lösungen [mm]x\in\IR[/mm] der folgenden Ungleichung:

Ich sehe hier nur eine Ungleichung.

> [mm]x^{3}-x^{2}<[/mm] 2x

> ich dachte ich fange erst einmal so an:
>  [mm]x(x^{2}-x)<2x[/mm]
>  [mm]x^{2}-x<2[/mm]

Das stimmt nur für alle [mm] $x>0\$ [/mm] (Wieso?).
(Für [mm] $x=0\$ [/mm] würden wir sogar durch Null teilen!)

>  [mm]x^{2}-x-2>0[/mm]

Jetzt bist du durcheinander gekommen. Es ist

      [mm] $x^3-x^2<2x\$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow x(x^2-x)<2x\$. [/mm]

Für [mm] $x=0\$ [/mm] gilt die Ungleichung offenbar nicht.

Für [mm] $x>0\$ [/mm] folgt [mm] $x^{2}-x<2\$ [/mm] und somit folgt?

Für [mm] $x<0\$ [/mm] folgt ... und somit folgt?


Alternativ betrachte

      [mm] $x^3-x^2<2x\$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow f(x):=x^3-x^2-2x<0\$. [/mm]

Die Nullstellen von [mm] $f\$ [/mm] sind gegeben durch [mm] $x=-1\$, $x=0\$ [/mm] und [mm] $x=2\$ [/mm] (Wieso?),
so dass gilt:

      $f(x)=x*(x+1)*(x-2)$.

Betrachte nun [mm] $f(x)<0\$. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Do 06.11.2014
Autor: Nicky-011

Für x>0  folgt  [mm] x^{2}-x<2 [/mm] und somit folgt?

             [mm] x^{2}-x-2>0 [/mm]

            und dann mit der p-q Formel [mm] x_{1}=-1,08 [/mm] und [mm] x_{2}=2,08 [/mm]
             Das führt dann im 1.Fall zu [mm] -1,08\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,08

Für x<0 folgt ... und somit folgt?

            [mm] x^{2}+x-2<0 [/mm]

            -> [mm] x_{1}=+1,08 [/mm] und [mm] x_{2}=-2,08 [/mm] ....
             Das führt dann im 2.Fall zu [mm] -2,08\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,08

Heißt das jetzt das x werte von [-2,08; 0[ [mm] \cap [/mm] ]0; 2,08]
annehmen kann, oder habe ich da jetzt falsche schlüße gezogen?




Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Do 06.11.2014
Autor: fred97


> Für x>0  folgt  [mm]x^{2}-x<2[/mm] und somit folgt?
>  
> [mm]x^{2}-x-2>0[/mm]

Nein. Das führt auf [mm] x^2-x-2<0. [/mm]


>
> und dann mit der p-q Formel [mm]x_{1}=-1,08[/mm] und [mm]x_{2}=2,08[/mm]
>               Das führt dann im 1.Fall zu [mm]-1,08\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 2,08

Wie kommst Du denn auf dies komischen Zahlen. Die Acht hat Dir doch schon gesagt, dass die Gleichung

    [mm] x^2-x-2=0 [/mm]

die Lösungen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] hat.

Das bedeutet: für x>0 gilt [mm] x^2-x-2<0 [/mm]  genau dann , wenn x<2 ist.

Wir haben also den 1. Teil der gesuchten Lösungsmenge:

     [mm] L_1=]0,2[ [/mm]

>  
> Für x<0 folgt ... und somit folgt?
>  
> [mm]x^{2}+x-2<0[/mm]

Nein. Es folgt [mm]x^{2}+x-2>0[/mm]. Das bedeutet: für x<0 ist [mm] x^2-x-2>0 [/mm] genau dann, wenn x<-1 ist.

2. Teil der Lösungsmenge:

   [mm] $L_2=] [/mm] - [mm] \infty, [/mm] -1[$

FRED

>  
> -> [mm]x_{1}=+1,08[/mm] und [mm]x_{2}=-2,08[/mm] ....
>               Das führt dann im 2.Fall zu [mm]-2,08\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 1,08
>  
> Heißt das jetzt das x werte von [-2,08; 0[ [mm]\cap[/mm] ]0; 2,08]
>  annehmen kann, oder habe ich da jetzt falsche schlüße
> gezogen?
>  
>
>  


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