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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Seien A,B,C\in X nicht-kollineare Punkte und sei Y:=\{A,B,C\}. Sei ferner Y' ein zweidimensionaler affiner Unterraum von X mit Y'\parallel Y. Zeigen Sie, dass Y' sowohl unter der Translation \tau_{\overrightarrow{AB}}, als auch unter \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}} invariant ist. |
Das erste Problem welches ich mit dieser Aufgabe hatte war das Wort invariante. Wir hatten in der Vorlesung nur gesagt, dass affine Abbildung invariant sind, welche Geometrische Eigenschaften erhalten.
Der Übungsleiter meinte es wäre folgendes zu zeigen: $\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(Y')=Y'$.
Also heißt invariant indem fall, dass $\forall A\in Y' \Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(A)\in Y'$?
Für die Verkettung sind wir dabei folgendermaßen vorgegangen:
Sei $R\in Y' \Rightarrow \overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \au_{\overrightarrow{AC}}(R)}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=V_{Y'} \Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}\in Y'$
Mir ist nun aber überhaupt nicht klar warum ich:
$\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \au_{\overrightarrow{AC}}(R)}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
überhaupt sagen darf. Das eine ist ne Verkettung von Funktionen, das andere ist eine Addition von Vektoren.
Darf man das wegen der Dreiecksgleichung machen?
$\tau_{\overrightarrow{AB}}$ ist ja nichts anderes als der Translationsvektor $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{R\tau(R)}$.
Also $\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}(R)}+\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AC}}(R)} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$?
Weiter heißt es:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=V_{Y'}$
Ich denke das ist mir klar. Es gilt ja $\overrightarrow{AB}\in V_Y \wedge \overrightarrow{AC}\in V_Y$, denn $Y:=<\{A,B,C\}>$.
Jetzt gilt noch $Y'\parallel Y$, was ja nichts anderes bedeutet als $V_{Y_1}\subseteq V_{Y_2}$ oder $V_{Y_2}\subseteq V_{Y_1}$.
Da $dim(Y)=dim(Y')=2$ \Rightarrow $V_{Y_1}=V_{Y_2}$
Also erzeugen die Vekotren den Vektorraum $V_Y=V_{Y'}$.
$ \Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(A)\in Y'$.
Nun müsste man aber eigentlich noch zeigen, dass auch \tau{\overrightarrow{AB}} invariant ist.
Das sollte aber im grunde genauso gehen.
Sei $R\in Y'$, dann gilt
$\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}(R)}=\overrightarrow{AB}\in V_Y=V_{Y'}$
$\Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}} \in Y'$
Hab ich das so richtig verstanden?
Mit freundlichen grüßén,
Zitroneneistee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Fr 05.02.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Seien [mm]A,B,C\in[/mm] X nicht-kollineare Punkte und sei
> [mm]Y:=\{A,B,C\}.[/mm] Sei ferner Y' ein zweidimensionaler affiner
> Unterraum von X mit [mm]Y'\parallel[/mm] Y. Zeigen Sie, dass Y'
> sowohl unter der Translation [mm]\tau_{\overrightarrow{AB}},[/mm]
> als auch unter [mm]\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}[/mm]
> invariant ist.
>
> Das erste Problem welches ich mit dieser Aufgabe hatte war
> das Wort invariante. Wir hatten in der Vorlesung nur
> gesagt, dass affine Abbildung invariant sind, welche
> Geometrische Eigenschaften erhalten.
>
> Der Übungsleiter meinte es wäre folgendes zu zeigen:
> [mm]\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(Y')=Y'[/mm].
>
> Also heißt invariant indem fall, dass [mm]\forall A\in Y' \Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(A)\in Y'[/mm]?
Ja. Eine Menge heisst invariant unter einer Funktion, wenn die Funktion die Menge in sich selber abbildet.
>
> Für die Verkettung sind wir dabei folgendermaßen
> vorgegangen:
>
> Sei [mm]R\in Y' \Rightarrow \overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \au_{\overrightarrow{AC}}(R)}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=V_{Y'} \Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}\in Y'[/mm]
>
> Mir ist nun aber überhaupt nicht klar warum ich:
>
> [mm]\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \au_{\overrightarrow{AC}}(R)}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> überhaupt sagen darf. Das eine ist ne Verkettung von
> Funktionen, das andere ist eine Addition von Vektoren.
Das siehst Du falsch, denn beide Terme bezeichnen einen Vektor, sodass die Frage nach der Gleichheit der beiden Objekte sinnvoll ist.
> Darf man das wegen der Dreiecksgleichung machen?
Ich weiss nicht was Du hier mit Dreiecksungleichung meinst. Wenn es [mm] $\vec{UW}= \vec{UV}+\vec{VW}$ [/mm] für alle $U,V,W$ meint, dann ja.
>
> [mm]\tau_{\overrightarrow{AB}}[/mm] ist ja nichts anderes als der
> Translationsvektor
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{R\tau(R)}[/mm].
Nein, sage besser: [mm] $\tau_{\overrightarrow{AB}}$ [/mm] ist eine Abbildung, für die [mm] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{R\tau(R)}$ [/mm] gilt.
>
> Also
> [mm]\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}(R)}+\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AC}}(R)} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}[/mm]?
>
O.K. Aber was hat das mit [mm] $\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}$ [/mm] zu tun? Mache es Dir so klar: [mm] $\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)$ [/mm] verschiebt den Punkt $R$ erst um den Vektor [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] und danach um den Vektor [mm] $\overrightarrow{AB}$. [/mm] Die Gesamtverschiebung ist damit [mm] $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$. [/mm] In Formeln:
[mm] $\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}= \overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}+\overrightarrow{\tau_{\overrightarrow{AC}}(R)\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ\tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}$, [/mm] wobei die Gleichheit aus der Tatsache folgt, dass man einen Punkt - hier: $R':= [mm] \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)$ [/mm] - einschieben darf.
Somit [mm] $\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}= \overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AC}}(R)}+\overrightarrow{R'\tau_{\overrightarrow{AB}}(R')}= \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AB}$ [/mm] nach Definition der Translation.
>
> Weiter heißt es:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=V_{Y'}[/mm]
>
> Ich denke das ist mir klar. Es gilt ja
> [mm]\overrightarrow{AB}\in V_Y \wedge \overrightarrow{AC}\in V_Y[/mm],
> denn [mm]Y:=<\{A,B,C\}>[/mm].
>
> Jetzt gilt noch [mm]Y'\parallel Y[/mm], was ja nichts anderes
> bedeutet als [mm]V_{Y_1}\subseteq V_{Y_2}[/mm] oder [mm]V_{Y_2}\subseteq V_{Y_1}[/mm].
>
> Da [mm]dim(Y)=dim(Y')=2[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]V_{Y_1}=V_{Y_2}[/mm]
>
> Also erzeugen die Vekotren den Vektorraum [mm]V_Y=V_{Y'}[/mm].
>
>
> [mm]\Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}}\circ \tau_{\overrightarrow{AC}}(A)\in Y'[/mm].
>
>
> Nun müsste man aber eigentlich noch zeigen, dass auch
> [mm]\tau{\overrightarrow{AB}}[/mm] invariant ist.
>
> Das sollte aber im grunde genauso gehen.
>
> Sei [mm]R\in Y'[/mm], dann gilt
>
> [mm]\overrightarrow{R\tau_{\overrightarrow{AB}}(R)}=\overrightarrow{AB}\in V_Y=V_{Y'}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \tau_{\overrightarrow{AB}} \in Y'[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hab ich das so richtig verstanden?
Ja, so sieht es richtig aus. Ein Tip: Zeige zuerst genauso, dass $Y'$ unter $\tau_{\overrightarrow{UV}$ invariant ist für $ U,V\in \{A,B,C\}$. Dann folgt nämlich sofort ohne zusätzliche Überlegungen, dass $Y'$ auch invariant unter den verketteten Translationen ist.
> Mit freundlichen grüßén,
> Zitroneneistee
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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