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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Transitive Operation
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Transitive Operation: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Sa 23.11.2013
Autor: derriemann

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] SL_{2}(\IR) [/mm] transitiv auf [mm] \overline{\IR} [/mm] = [mm] \IR \cup \{\infty\} [/mm] operiert vermöge:

[mm] \pmat{a & b \\ c & d}x [/mm] = [mm] \begin{cases} \infty, & \mbox{falls } x=\infty,c=0 \\ a/c, & \mbox{falls } x=\infty , c\not= 0 \\ \infty , & \mbox{falls } x \not= \infty , cx+d=0 \\ (ax+b)/(cx+d),& \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]

Hallöchen :-)

Stecke leider bei dieser (bestimmt nicht schweren) Aufgabe fest. Bei mir scheitert es momentan an der Begrifflichkeit "Transitive Operation":
Sei G Gruppe, M eine Menge. G operiert transitiv auf M, wenn es ein x [mm] \in [/mm] M gibt, mit Gx=M.
Ich weiß nicht so richtig, wie ich hier jetzt rangehen soll. Muss ich einfach nur zeigen: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR: \pmat{ a & b \\ c & d}x=\overline{\IR}, [/mm] also wenn x [mm] \not= \infty [/mm] muss gelten:
[mm] \{\infty\} \cup \{(ax+b)/(cx+d)\} [/mm] = [mm] \overline{\IR}? [/mm]

Würde mich über einen kurzen Tipp freuen :-)

Viele Grüße
derriemann

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Transitive Operation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Sa 23.11.2013
Autor: felixf

Moin!

> Zeigen Sie, dass [mm]SL_{2}(\IR)[/mm] transitiv auf [mm]\overline{\IR}[/mm] =
> [mm]\IR \cup \{\infty\}[/mm] operiert vermöge:
>  
> [mm]\pmat{a & b \\ c & d}x[/mm] = [mm]\begin{cases} \infty, & \mbox{falls } x=\infty,c=0 \\ a/c, & \mbox{falls } x=\infty , c\not= 0 \\ \infty , & \mbox{falls } x \not= \infty , cx+d=0 \\ (ax+b)/(cx+d),& \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> Hallöchen :-)
>  
> Stecke leider bei dieser (bestimmt nicht schweren) Aufgabe
> fest. Bei mir scheitert es momentan an der Begrifflichkeit
> "Transitive Operation":
>  Sei G Gruppe, M eine Menge. G operiert transitiv auf M,
> wenn es ein x [mm]\in[/mm] M gibt, mit Gx=M.

Genauer: dies muss fuer jedes $x [mm] \in [/mm] M$ gelten, da es eine Gruppenoperation ist.

Du kannst also z.B. $x = 0$ waehlen. (Damit wird die Formel sehr einfach.) Jetzt rechne [mm] $\pmat{a & b \\ c & d} [/mm] x$ mit der obigen Formel aus, und dann kannst du fuer jedes $y [mm] \in \overline{\IR}$ [/mm] eine Wahl von Parametern angeben, dass $y$ herauskommt.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Transitive Operation: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:38 So 24.11.2013
Autor: derriemann

Hey, danke für die Antwort :-)

Hm, also z.B.

sei x = 0:

[mm] \pmat{ a & b \\ c & d}(x)= [/mm] b/d

Sei y [mm] \in \overline{\IR}: [/mm] b/d * dy/b = y, also transitiv für x = 0


sei x [mm] \not= \{0, \infty\}: [/mm]

[mm] \pmat{ a & b \\ c & d}(x) [/mm] = [mm] \infty [/mm]

Wenn y = [mm] \infty [/mm] gilt: [mm] \infty*z [/mm] (z [mm] \in \overline{\IR}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] = y
Wenn y [mm] \not= \infty [/mm] gilt: Nun kann man doch keinen Parameter angeben, so dass [mm] \infty [/mm] * z = y?

LG


Bezug
                        
Bezug
Transitive Operation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Di 26.11.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Transitive Operation: Operation zeigen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 So 24.11.2013
Autor: Schadowmaster

Hey,

felix hat dir ja schon gesagt, wie du zeigen kannst, dass die Operation transitiv ist.
Was du hier nicht vernachlässigen solltest ist die Frage, warum die gegebene Abbildung überhaupt eine Operation ist.
Da die Abbildung ja nicht so einfach ist, dass man sagen könnte "klarerweise ist das eine Operation", würde ich als Teil der Lösung auch dafür ein wenig Zeit aufwenden.

lg

Schadow

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