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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Topologische Abbildung
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Topologische Abbildung: Einfach zusammenhäng. Gebiete
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 So 12.04.2009
Autor: didi1985

Aufgabe
Der Begriff des einfachen Zusammenhangs ist topologisch invariant: Ist [mm] \psi [/mm] : [mm] D\to [/mm] D' eine topologische Abbildung zwischen zwei Gebieten D, D' aus [mm] \IC, [/mm] so ist D genau dann einfach zusammenhängend, wenn D' einfach zusammenhängend ist.

Hi!
Dies gehört zum Teil des Beweises, weshalb Elementargebiete stets einfach zusammenhängend sind.
Hierzu wollte ich mich nochmal vergewissern, was topologische Abbildung bedeutet: Laut WIKI sind das gerade bijektive und stetige (auch Umkehrung) Abbildungen. Ist das korrekt?
Warum ist aber der Begriff des eifnachen Zusammenhangs topologisch invariant bzw. warum ist D genau dann zusammenhängend, wenn D' einfach zusammenhängend ist?

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte

        
Bezug
Topologische Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 So 12.04.2009
Autor: Merle23

> Hierzu wollte ich mich nochmal vergewissern, was
> topologische Abbildung bedeutet: Laut WIKI sind das gerade
> bijektive und stetige (auch Umkehrung) Abbildungen. Ist das
> korrekt?

Den Begriff "topologische Abbildung" höre ich jetzt zum ersten Mal.
Eine bijektive und stetige Abbildung, deren Umkehrfunktion ebenfalls stetig ist, nennt man eigentlich Homöomorphismus.

>  Warum ist aber der Begriff des eifnachen Zusammenhangs
> topologisch invariant bzw. warum ist D genau dann
> zusammenhängend, wenn D' einfach zusammenhängend ist?

Ich gehe mal davon aus dass du weisst wie "einfach zusammenhängend" definiert ist.

Der Beweis ist eigentlich nicht schwer. Da D einfach zusammenhängend ist, hast du zu jeder Schleife in D eine Homotopie H, welche diese Schleife zusammenzieht.
Wenn du jetzt eine Schleife in D' hast, dann kannst du die ja mit [mm] f^{-1} [/mm] zurückziehen nach D. Somit erhälst du mit [mm]f \circ H \circ f^{-1}[/mm] eine passende Homotopie in D'.
Das war jetzt sehr ungenau, aber die Idee sollte klar sein.

Bezug
                
Bezug
Topologische Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Mi 15.04.2009
Autor: didi1985

danke- also homöomorphismus ist das selbe. gut, dann weiß ich bescheid. zu dem anderen: das muss ich mir noch mal genauer anschauen, da steig ich noch nicht durch... aber die grundidee hab ich denk ich verstanden. gruß

Bezug
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