Tiefpunkt einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Graph mit f(x)= [mm] x^{2} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] einen Tiefpunkt besitzt. |
Also in der Schule wurde uns mitgeteilt, dass x=0 sein muss, was ja auch bei einsetzen korrekt ist.
Rechnung:
[mm] e^{x} [/mm] * (2x+ [mm] x^{2} [/mm] ) = 0 | (2x+ [mm] x^{2} [/mm] =0
[mm] e^{x} [/mm] = 0
x = ln(0)
x = 0 (das haben wir im Unterricht gemacht!!!
Aber [mm] e^{0} [/mm] ist ja nicht gleich 0! Man bekommt doch bei [mm] e^{x} [/mm] nie null raus, oder? Inwiefern ist das Ergebnis dann richtig?
Ich habe folgendes probiert:
[mm] e^{x} [/mm] * (2x+ [mm] x^{2} [/mm] ) = 0 | [mm] :e^{x}
[/mm]
(2x+ [mm] x^{2} [/mm] ) = 0
x = -2
nur das Ergebnis stimmt ja auch nich, da ja x=-2 kein Extrema hat!
Kann mir jemand aus dem Wirr-Warr helfen? Danke
Gruss Denis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 25.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Denis!
Um eine Minimum (oder auch ein Maximum) nachzuweisen, musst Du die Nullstellen der 1. Ableitung $f'(x) \ = \ ... \ = \ 0$ berechnen (notwendiges Kriterium).
Zudem sollte an dieser Stelle die 2. Ableitung größer als Null sein (hinreichendes Kriterium).
> [mm]e^{x}[/mm] * (2x+ [mm]x^{2}[/mm] ) = 0 | (2x+ [mm]x^{2}[/mm] =0
Du darfst hier nicht einfach durch die Klammer teilen. Schließlich könnte diese Klammer auch den Wert Null annehmen und Du "verschlust" weitere Lösungskandidaten.
Wende hier das Prinzip des Nullproduktes an:
[mm] $e^x [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $x^2+2x [/mm] \ = \ 0$
usw.
> [mm]e^{x}[/mm] = 0
> x = ln(0)
> x = 0 (das haben wir im Unterricht gemacht!!!
Das ist ja gruselig!!!! Das ist FALSCH!!! Schließlich ist der [mm] $\ln(...)$ [/mm] nur für positive Argumente definiert.
> Aber [mm]e^{0}[/mm] ist ja nicht gleich 0! Man bekommt doch bei
> [mm]e^{x}[/mm] nie null raus, oder?
So ist es richtig!
> Ich habe folgendes probiert:
>
> [mm]e^{x}[/mm] * (2x+ [mm]x^{2}[/mm] ) = 0 | [mm]:e^{x}[/mm]
> (2x+ [mm]x^{2}[/mm] ) = 0
> x = -2
>
> nur das Ergebnis stimmt ja auch nich, da ja x=-2 kein Extrema hat!
Doch, dort liegt ein Maximum (also ein Hochpunkt vor).
Du hast bei [mm] $x^2+2x [/mm] \ = \ 0$ eine Nullstelle unterschlagen. Klammere doch mal zunächst $x_$ aus ...
Gruß
Loddar
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Danke Loddar,
wenn ich x ausklammerevereinfache ich mir natuerlich die Sache
x(x+2) = 0
x = 0 v x+2 = 0
x = -2
Aha, da habe ich ja mein x=0 (Tiefpunkt) und wenn ich x = -2 bei f``(x) einsetze habe ich einen Hochpunkt.
Ich danke Dir!
Schoenen Sonntag noch!
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