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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mi 15.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Betrachte die Funktion f(x) = [mm] \wurzel{1 + x^2}, [/mm] x [mm] \in [/mm] R, berechne das Taylorpolynom [mm] T_{3}f(x; [/mm] 0) und eine
Schranke für den Fehler
| f(x) - [mm] T_{3}f(x; [/mm] 0) | in [-1/10 , 1/10]. |
Hallo, ich habe hiermit so einige Probleme beim Verstehen der Aufgabenstellung. Leider war ich zu den letzten beiden Vorlesungen krank und unser Prof stellt kein skript ins Internet.
Daher meine Frage: was fange ich mit [mm] T_{3}f(x; [/mm] 0) an.
[mm] T_{3} [/mm] steht ja wahrscheinlich für das 3te Taylorpolynom, oder?
f(x; 0) was sagt mir hier die 0 ? egal wo ich gesucht habe ich habe nie was vergleichbares gefunden.
danke im vorraus, die maxi
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Hallo maxi85,
das Taylorpolynom berechnet sich folgendermaßen:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)$
[/mm]
wobei du die Summe dann nur bis zum 3. Glied berechnen musst.
[mm] $f^{(n)}$ [/mm] ist die n-te Ableitung und [mm] $x_0(=0)$ [/mm] ist dein Entwicklungspunkt.
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 15.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
ok hab mal versucht weiterzukommen, hier erstmal meine überlegungen.
f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0}) (x-x_{0}) [/mm] + [mm] f''(x_{0}) (x-x_{0})^2 [/mm] + o ( [mm] (x-x_{0})^2)
[/mm]
das müsste ja dann erstmal das 3te Taylorpolynom sein, oder?
Wenn ich richtig liege brauche ich um jetzt weiter zu kommen erstmal die Ableitungen.
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} [/mm] * 2x = [mm] \bruch{x}{(1+x^2)^{1/2}}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{(1+x^2)^2 - x*1/2*(1+x^2)^{-1/2} *2x}{1+x^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(1+x^2)^2 - \bruch{x^2*\wurzel{1+x^2}}{1+x^2}}{1+x^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(1+x^2)^3 -x^2 \wurzel{1+x^2}}{(1+x^2)^2}
[/mm]
Stimmt das erstmal soweit?
Und wie geht es jetzt weiter? Ist mein [mm] x_{0} [/mm] = 0 ? Also [mm] (x-x_{0})=0 [/mm] ? Wenn ja muss ich [mm] x_{0} [/mm] = 0 ja nur noch in die Ableitungen einsetzen und die am ende zusammenbauen, oder?
Hat evt. auch noch jemand n eien Idee gegen was ich o ( [mm] (x-x_{0})^2)
[/mm]
sinnvoll abschätzen könnte?
Ps: Sorry das ich so kleinteilig frage, aber ich bin gerad ziemlich knülle und (auch wenns blöd is) keine lust das jetzt alles durchzurechnen und abzutippen wenn ich total aufm Holzpfad bin...
Danke an alle die mal drüber schaun, mfg die Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 15.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein f'' ist sehr falsch. Wenn du mit der Quotientregel nicht zurecht kommst rechne mit dem Produkt [mm] x*(1*x^2)^{-1/2}
[/mm]
[mm] x_0=0 [/mm] ist richtig, aber nicht [mm] x-x_0=0
[/mm]
du brauchst noch f'''
und das Restglied (Lagrangeform) daraus dann dein o
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 16.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hey, danke erstmal fürs drübergucken.
ok, hab [mm] f''(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] - [mm] \bruch{x^2}{\wurzel{(1+x^2)^3}} [/mm] raus. hoffe das stimmt jetzt.
wenn ich das dann mit [mm] x_{0}=0 [/mm] wieder zusammenbaue, kommt ja eig nur noch
f(x) = 1 + 0 + [mm] 1*(x-0)^2 [/mm] + [mm] o(x^2) [/mm] = 1 + [mm] x^2 [/mm] + [mm] o(x^2) [/mm] raus.
aber wozu brauche ich jetzt die 3te Ableitung?
und was ist die Lagrangeform?
mfg Maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 16.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maxi!
> Hey, danke erstmal fürs drübergucken.
>
> ok, hab [mm]f''(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} - \bruch{x^2}{\wurzel{(1+x^2)^3}}[/mm] raus. hoffe das stimmt
> jetzt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich das dann mit [mm]x_{0}=0[/mm] wieder zusammenbaue, kommt ja
> eig nur noch
>
> [mm]f(x) = 1 + 0 + 1*(x-0)^2 + o(x^2) = 1 + x^2 + o(x^2)[/mm] raus.
Nein, das ist nicht ganz richtig. Erstens hast den Faktor [mm] $\bruch{1}{n!}$ [/mm] vergessen, bei der 2. Ableitung muss also noch [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] stehen, und zweitens muss dann am Schluss [mm] $o(x^\red{3})$ [/mm] stehen.
> aber wozu brauche ich jetzt die 3te Ableitung?
Du sollst doch das Taylorpolynom [mm] $T_3$, [/mm] also bis [mm] $x^3$ [/mm] ausrechnen. Dafür brauchst du die 3. Ableitung.
> und was ist die Lagrangeform?
Das Taylorpolynom unterscheidet sich ja von der Funktion $f(x)$. Der Unterschied wird Restglied genannt. Mit Hilfe der nächsten (hier also 4.) Ableitung kann man das Restglied berechnen oder zumindest abschätzen.
Es gibt mehrere Darstellungen des Restglieds. Die Lagrangeform ist eine davon. ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Restgliedformeln.
Wenn du das Taylorpolynom bis zur n-ten Ableitung, also bis [mm] $(x-x_0)^n$ [/mm] berechnet hast, so ist der Unterschied zwischen Funktion und Taylorpolynom gegeben durch
[mm] R_{n+1}(x) = \bruch{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi) *(x-x_0)^{n+1} [/mm],
wobei [mm] $\xi$ [/mm] irgendeine bestimmte, aber nicht unbedingt bekannte Zahl zwischen [mm] $x_0$ [/mm] und $x$ ist.
Der Punkt hier ist, dass du damit den Unterschied zwischen Taylorpolynom und Funktion abschätzen kannst. Denn der kann nicht größer sein als
[mm] \max_x |R_{n+1}(x) | \le \bruch{1}{(n+1)!} \left(\max_{\xi\in(x_0,x)} |f^{(n+1)}(\xi)|\right) * \max_x |x-x_0|^{n+1} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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