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Taylor-Reihe: Verständnis Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 So 14.10.2018
Autor: sancho1980

Hallo

ich habe wieder mal eine Verständnisfrage zum Thema Taylorreihen.
Es geht um die Herleitung von

ln(1+x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} x^k, [/mm] für |x| < 1

Laut meinem Buch folgt das aus folgenden zwei Dingen:

1) Zum Einen aus der Regel:

"Ist die Taylorreihe der Ableitung gefunden,

f'(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k [/mm] (x - [mm] x_0)^k [/mm]

so ist die Taylorreihe von f gegeben durch

f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{b_k}{k + 1} [/mm] (x - [mm] x_0)^{k + 1}" [/mm]

2) Und zum Zweiten aus

[mm] \bruch{1}{1 - x} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k, [/mm] für |x| < 1

Jetzt ist aber die Ableitung

ln(1 + x)' [mm] \not= [/mm] 1 - x

sondern

ln(1 + x)' = 1 + x

Wie kommt man also auf die Geschichte mit den abwechselnden Vorzeichen?

        
Bezug
Taylor-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 So 14.10.2018
Autor: fred97


> Hallo
>  
> ich habe wieder mal eine Verständnisfrage zum Thema
> Taylorreihen.
>  Es geht um die Herleitung von
>  
> ln(1+x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} x^k,[/mm]
> für |x| < 1
>  
> Laut meinem Buch folgt das aus folgenden zwei Dingen:
>  
> 1) Zum Einen aus der Regel:
>  
> "Ist die Taylorreihe der Ableitung gefunden,
>  
> f'(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm] (x - [mm]x_0)^k[/mm]
>  
> so ist die Taylorreihe von f gegeben durch
>  
> f(x) = [mm]f(x_0)[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{b_k}{k + 1}[/mm] (x
> - [mm]x_0)^{k + 1}"[/mm]
>  
> 2) Und zum Zweiten aus
>  
> [mm]\bruch{1}{1 - x}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^k,[/mm] für |x| < 1
>  
> Jetzt ist aber die Ableitung
>  
> ln(1 + x)' [mm]\not=[/mm] 1 - x
>  
> sondern
>  
> ln(1 + x)' = 1 + x
>  
> Wie kommt man also auf die Geschichte mit den abwechselnden
> Vorzeichen?

Setze in die geometrische Reihe,  die in 2) steht , statt  x mal -x ein.




Bezug
                
Bezug
Taylor-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 So 14.10.2018
Autor: sancho1980

Jupp, wollte grad schreiben, dass ich grad von allein drauf gekommen bin :-D

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