Stammfunktion e^x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral von [mm] e^{x} [/mm] auf dem Intervall [a,b]
Wahlen Sie dazu eine geeignete (moglichst einfache) Partition a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] <.. < [mm] x_{n} [/mm] = b von [a; b] |
Hey
ich hänge leider bei dieser Aufgabe, weil ich nicht genau weiß wie ich die Ober- bzw. Untersumme weiter umformen kann bzw. wie ich überhaupt das Integral so beweisen und bestimmen kann.
Ich habe also die Funktion f(x)= [mm] e^{x} [/mm] und wähle die Partition: a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] <.. < [mm] x_{n} [/mm] = b
meine Ober- bzw. Untersummen lauten doch dann:
[mm] O_{f}(x)= \sum_{j=1}^{n}e_{j}^{x}*(x_{j}-x_{j-1})
[/mm]
und
[mm] U_{f}(x)= \sum_{j=1}^{n}e_{j-1}^{x}*(x_{j}-x_{j-1})
[/mm]
aber wie komme ich jetzt zur Stammfunktion?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du hast ja bisher noch gar keine Partition gewählt.
Der Hinweis, dass es eine möglichst einfache sein soll, gibt Anlass zu der Hoffnung, dass eine äquidistante Zerlegung funktionieren könnte.
Du legst also fest : $ [mm] x_i=a+i*\Delta [/mm] x $ für i=0...n mit [mm] \Delta x=\bruch{b-a}{n}.
[/mm]
Deine Untersumme wird dann $ [mm] U_n=\summe_{i=0}^{n-1}e^{x_i}*\Delta [/mm] x $
Hier kannst du $ [mm] e^{a}*\Delta [/mm] x $ ausklammern und für den Rest die Summenformel der geometrischen Reihe benutzen. Der Nenner wird im Grenzfall [mm] $\Delta x\to [/mm] 0 $ die Ableitung der e-Funktion an der Stelle 0, also 1.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey
> Der Hinweis, dass es eine möglichst einfache sein soll,
> gibt Anlass zu der Hoffnung, dass eine äquidistante
> Zerlegung funktionieren könnte.
>
> Du legst also fest : [mm]x_i=a+i*\Delta x[/mm] für i=0...n mit
> [mm]\Delta x=\bruch{b-a}{n}.[/mm]
> Deine Untersumme wird dann
> [mm]U_n=\summe_{i=0}^{n-1}e^{x_i}*\Delta x[/mm]
aber wie kann aus :
[mm] \sum_{i=1}^{n}e_{i}^{x}*(x_{i}-x_{i-1})
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}e^{x_i}*\Delta [/mm] x werden wenn [mm] x_i=a+i*\Delta [/mm] x
> Hier kannst du
> [mm]e^{a}*\Delta x[/mm] ausklammern und für den Rest die
> Summenformel der geometrischen Reihe benutzen. Der Nenner
> wird im Grenzfall [mm]\Delta x\to 0[/mm] die Ableitung der
> e-Funktion an der Stelle 0, also 1.
wenn ich den Summanden mit x=a ausklammer, wie verändern sich dann die Grenzen der Summe?
es tut mir leid, aber wir haben das Schema wie dies funktioniert nie wirklich in der Vorlesung besprochen und sämtliche Artikel in Büchern helfen mit hier leider auch nicht weiter..
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!
LG
Stinibini
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
dann schreibe ich dir die Summe etwas ausführlicher auf :
$ [mm] U_n=\summe_{i=0}^{n-1}(e^{x_i}\cdot{}\Delta [/mm] x) [mm] =\summe_{i=0}^{n-1}(e^{a+i\cdot{}\Delta x}\cdot{}\Delta [/mm] x) = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}(e^{a}*e^{i\cdot{}\Delta x}\cdot{}\Delta [/mm] x) = [mm] e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}(e^{\Delta x})^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x = [mm] e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}q^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x $ mit [mm] q=e^{\Delta x}
[/mm]
Ich hoffe, dass du meine weiteren Hinweise jetzt anwenden kannst.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey
danke für deine Mühen erstmal. Leider bleiben mir denn och einige Fragen offen:
1. Wieso lautet die Untersumme:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1}e^{x_{i}}* \delta [/mm] x und nicht:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1}e^{x_{i}}* (x_{i}-x_{i-1}) [/mm] ?
2. Wenn ich dann am Ende eine Summe erhalte, die mit der geometrischen Reihe zusammenhängt, kann ich dies dann mit dem Grenzwert der geometrischen Reihe abschätzen?
3. Wie stelle ich die Obersumme dar? Ich kann mir zeichnerische den Unterschied zur Untersumme vorstellen, aber wie sieht das in diesem Falle mit der Summenschreibweise aus? Wo liegt der Unterschied?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mal [mm] x_i-x_{i-1} [/mm] für [mm] x_i=a+i*\Delta [/mm] x hingeschrieben?
zu. 2. wie geht man denn mit den Unter bzw obersummen um um das Integral zu erhalten?
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hey
zu 1:
ja jetzt ist es klar geworden:
[mm] x_{i}-x_{i-1}=a+i*\delta [/mm] x-a- i* [mm] \delta [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] x= [mm] \delta [/mm] x
danke!
zu2:
>wie geht man denn mit den Unter bzw obersummen um
> um das Integral zu erhalten?
das verstehe ich eben nicht, wie man die Obersumme bildet (und wo in der Summenschreibweise der Unterschied zur Untersumme ist) und aus Ober-und Untersumme dann das Integral bildet. An dieser Stelle würde ich mich über Hilfe freuen
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der GW der Ober und Untersumme muß derselbe sein, dann ist der GW das Integral. deshalb brauchst du den GW für n gegen unendlich.
wie ist das Integral denn für dich definiert?
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hey
[mm] 1)e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}q^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x=Untersumme
das bedeutet ja, das das Integral von f(x)= [mm] \limes_{n \to \infty} e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}q^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x ist richtig? jetzt könnte ich ja den Grenzwert reinziehen und zumindest die Summe zum Grenzwert der geometrischen Reihe umformen [mm] (=\frac{1}{1-e^{\delta*x}}) [/mm] oder?
dann erhalte ich:
[mm] e^{a}*\frac{1}{1-e^{\delta*x}}*\Delta [/mm] x
aber das stimmt ja nicht...
2.) Die Obersumme ist ja dann definiert durch:
[mm] O_n=\summe_{i=0}^{n}(e^{x_i}\cdot{}\Delta [/mm] x) [mm] =\summe_{i=0}^{n}(e^{a+i\cdot{}\Delta x}\cdot{}\Delta [/mm] x) = [mm] \summe_{i=0}^{n}(e^{a}*e^{i\cdot{}\Delta x}\cdot{}\Delta [/mm] x) = [mm] e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}(e^{\Delta x})^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x = [mm] e^{a}*(\summe_{i=0}^{n}q^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x[/mm]
> mit [mm][mm] q=e^{\Delta x} [/mm]
und für n gegen Unendlich stimmen Ober und Untersumme ja dann überein, oder?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 04.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hey
> [mm]1)e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}q^{i})\cdot{}\Delta[/mm]
> x=Untersumme
> das bedeutet ja, das das Integral von f(x)= [mm]\limes_{n \to \infty} e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}q^{i})\cdot{}\Delta[/mm]
> x ist richtig?
Das ist genau dann richtig, wenn f Riemann-integrierbar ist. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn Unter- und Obersumme einen gemeinsamen Grenzwert haben und das sollst du schließlich nachweisen.
> jetzt könnte ich ja den Grenzwert
> reinziehen und zumindest die Summe zum Grenzwert der
> geometrischen Reihe umformen [mm](=\frac{1}{1-e^{\delta*x}})[/mm]
> oder?
Nein !
Das kannst du aus zwei Gründen nicht tun:
Erstens konvergiert die Reihe wegen q>1 überhaupt nicht und
zweitens (noch wichtiger) hängt $ [mm] \Delta [/mm] x $ auch von n ab.
Du kannst allenfalls [mm] e^{a} [/mm] vor den Grenzwert ziehen.
Übrigens : was soll denn dieses Multiplikationszeichen zwischen [mm] \delta [/mm] und x ? (Sowas ist häufig ein Zeichen mangelnden Verständnisses.)
> dann erhalte ich:
> [mm]e^{a}*\frac{1}{1-e^{\delta*x}}*\Delta[/mm] x
> aber das stimmt ja nicht...
> 2.) Die Obersumme ist ja dann definiert durch:
> [mm]O_n=\summe_{i=0}^{n}(e^{x_i}\cdot{}\Delta[/mm] x)
> [mm]=
Nein. Bei der Obersumme beginnt die Summation bei i=1.
Du solltest dir unbedingt eine Skizze anfertigen, um dich mit der Situation vertraut zu machen.
> und für n gegen Unendlich stimmen Ober und Untersumme ja dann
> überein, oder?
Wie gesagt, diese Übereinstimmung ist nachzuweisen, am besten dadurch, dass die beiden Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U_n [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}O_n [/mm] berechnet werden.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey
also muss ich ja beweisen, dass Obersumme = Untersumme gilt, also :
[mm] e^{a}*(\summe_{i=1}^{n}q^{i})\cdot{}\Delta x=e^{a}*(\summe_{i=0}^{n-1}q^{i})\cdot{}\Delta [/mm] x
aber dies ist ja nicht unmittelbar erfüllt , oder?
Die Anzahl der Summanden stimmt zwar, dennoch unterscheiden sich die Grenzen
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 04.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
warum wendest du nicht die Formel zur Summation der (endlichen) geometrischen Reihe an, wie ich dir das schon in meiner ersten Antwort geraten habe ?
Nach einigen Umformungsschritten erkennst du dann, dass sowohl der Grenzwert der Obersummen als auch der der Untersummen jeweils gleich [mm] e^b-e^{a} [/mm] ist. Das sollst du ja sowieso noch zeigen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey
ich war mir bei der Obersumme nicht ganz sicher. Wenn ich die Untersumme umforme erhalte ich ja dann:
[mm] e^{a}*\frac{1-e^{\Delta x * (n+1)}}{1-e^{\Delta x}} \Delta [/mm] x[/mm]
bei der Obersumme:
[mm] e^{a}*(\summe_{i=1}^{n}q^{i})\cdot{}\Delta [/mm] xmit [mm][mm] q=e^{\Delta x} [/mm] bin ich mir allerdings nicht so sicher. Ich kann ja den Summanden für i=1 in die Summe reinziehen und nachher wieder abziehen um die Grenzen anzupassen:
= [mm] e^{a}*(-1+(\summe_{i=0}^{n}q^{i})\cdot{})\Delta [/mm] x
und woher kommt [mm] e^{b}? [/mm] wird die Partition bei der Obersumme so gewählt, dass [mm] a^{a} [/mm] durch [mm] e^{b} [/mm] ersetzt wird?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 04.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hey
> ich war mir bei der Obersumme nicht ganz sicher. Wenn ich
> die Untersumme umforme erhalte ich ja dann:
> [mm]e^{a}*\frac{1-e^{\Delta x * (n+1)}}{1-e^{\Delta x}} \Delta[/mm]
> x[/mm]
Nein.
Im Exponenten muss es n heißen, nicht n+1. Du kannst den Exponenten vereinfachen, indem du die Definition von $ [mm] \Delta [/mm] x $ einsetzt.
Den Faktor $ [mm] \Delta [/mm] x $ am Ende ziehst du am besten in den Nenner, der dann zu [mm] -\bruch{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} [/mm] wird, und wie du mit dem verfahren sollst, habe ich dir ja schon ganz am Anfang gesagt.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey,
ich habe nur noch Probleme mit den Umformungen,
ich komme bis zu:
[mm] \frac{e^{a}-e^{b}}{1-e^{\frac{b-a}{n}}}*\{b-a}{n}
[/mm]
kann man es nicht bei diesem Schritt belassen? Ich weiß leider nicht genau, was du mit "in den Nenner ziehen " meinst. Wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, strebt der Nenner gegen 1, der letzte Faktor gegen 0 und somit bleibt als Grenzwert [mm] e^{a}-e^{b}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
HALLO
Ob du (b-a)/n n gegen unendlich oder [mm] (b-a)/n=\Delta [/mm] x , |Delta x gegen 0 ost doch egal. wenn du willst kannst du [mm] e^{\Delta x} [/mm] durch seine Reihe ersetzen, [mm] e^{\Delta x} =1+\Delta [/mm] x+ Gleider höherer irdnung in [mm] \Delta [/mm] x. sonst L'Hopital. (sas ist eigentlich dasselbe.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey
wenn ich also:
[mm] \frac{e^{a}-e^{b}}{1-e^{\Delta x}}*\Delta [/mm] x habe und [mm] \Delta [/mm] x gegen 0 laufen lasse, erhalte ich [mm] e^{a}-e^{b} [/mm] als Grenzwert?
stimmt das?
Denn Sax sprach von [mm] e^{b}-e^{a}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo d
er GW ist -1 nicht 1 dadurch erhöst du [mm] -(e^<-e^b)
[/mm]
gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hey
tut mir leid ( auch dafür, dass der Thread Kilometerlänge annimmt. ich fehlte nur leider bei dem Thema in der Vorlesung( Krankenhaus..) und kommt mit diesem Thema auch mit Hilfe von Lehrbüchern etc. nicht auf einen Nenner) ich verstehe leider nicht was du genau meinst. Wie erhält man denn den Grenzwert -1???
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \limes_{d\rightarrow 0}d/(1-e^{d})=\limes_{d\rightarrow 0} d/(1-(1+d+d^2(2!.....))= \limes_{d\rightarrow 0}1/(-1+d^2,...)=-1
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey
ja, das klingt für mich logisch, aber wie kommst du denn darauf?
Ich erhalte für die Untersumme:
siehe Antwort sax:
[mm] e^{a}*\frac{1-e^{\Delta x *n}}{1-e^{\Delta x}}*\Delta [/mm] x
[mm] \gdw e^{a}*\frac{1-e^{(b-a)/n}}{1-e^{(b-a)/n}}*\frac{b-a}{n}
[/mm]
= [mm] \frac{e^{a}-e^{b}}{1-e^{(b-a)/n}}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 05.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch in einem vorige n post
$ [mm] \frac{e^{a}-e^{b}}{1-e^{\frac{b-a}{n}}}\cdot{}\frac{b-a}{n} [/mm] $
ich habe [mm] \frac{b-a}{n} [/mm] =d genannt und dann statt n gegen unendlich d gegen 0
also [mm] (e^a-e^b)*\frac{d}{1-e^d} [/mm] jetzt den GW d gegen 0 wie beschrieben
wo in diesem post in der letzten Zeile das [mm] \frac{b-a}{n} [/mm] geblieben ist ?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey
okay danke. ich komme nur bei der Obersumme nicht so ganz weiter:
[mm] O_{f}(P)=e^{a}*\sum_{i=1}^{n}e^{\Delta x}* \Delta [/mm] x
= [mm] e^{a}*(-1+\sum_{i=0}^{n}e^{\Delta x})* \Delta [/mm] x
[mm] =e^{a}*(-1+\frac{1-e^{\Delta x*(n+1)}}{1-e^{\Delta x}})* \Delta [/mm] x
[mm] =(\frac{-e^{a}+e^{a}-e^{\Delta x*n+\Delta x + a}}{1-e^{\Delta x}})* \Delta [/mm] x
= [mm] (\frac{-e^{b-a+((b-a)/n)+a}}{1-e^{(b-a)/n}})* [/mm] (b-a)/n
= [mm] (\frac{-e^{b((b-a)/n)}}{1-e^{(b-a)/n}})* [/mm] (b-a)/n
wie der Nenner und der letzte Faktor sich für n gegen unendlich verhalten weiß ich ja schon, jedoch fehlt mir am Ende ein [mm] e^{a}..Was [/mm] habe ich falsch gemacht?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 05.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da sind so viele Fehler drin echte oder Tipfehler weiss ich nicht , sieh dir das nochmal an, vergleiche mit der Untersumme, die unterscheiden sich doch kaum. du kannst auch US und OS nebeneinander schreiben und direkt sehen, dass sie für n gegen unendlich gleich sind,
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey
stimmen denn zumindest die ersten beiden Schritte?
okay danke. ich komme nur bei der Obersumme nicht so ganz weiter:
[mm] O_{f}(P)=e^{a}*\sum_{i=1}^{n}e^{\Delta x}* \Delta [/mm] x
= [mm] e^{a}*(-1+\sum_{i=0}^{n}e^{\Delta x})* \Delta [/mm] x
[mm] =e^{a}*(-1+\frac{1-e^{\Delta x*(n+1)}}{1-e^{\Delta x}})* \Delta [/mm] x
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 05.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch immer fehlt ein i in der Summe
:
> [mm]O_{f}(P)=e^{a}*\sum_{i=1}^{n}e^{\Delta x}* \Delta[/mm] x
richtig [mm]O_{f}(P)=e^{a}*\sum_{i=1}^{n}e^{i\Delta x}* \Delta[/mm] x
> = [mm]e^{a}*(-1+\sum_{i=0}^{n}e^{\Delta x})* \Delta[/mm] x
> [mm]=e^{a}*(-1+\frac{1-e^{\Delta x*(n+1)}}{1-e^{\Delta x}})* \Delta[/mm]
> x
=- [mm] e^a*d +e^a*(1-e^{b-a}*e^d* \frac{d}{1-e^d}
[/mm]
jetzd d gegen 0 [mm] e^d [/mm] gegen 1 [mm] e^a*d [/mm] gegen 0 und der Rest wie gehabt
warum hast du es nicht wirklich mal mit deine US verglichen??
Gruß leduart
> LG
|
|
|
|
