Schwerpunkt Kegelstumpf < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ein Stammstück der Länge 12 m hat am dickeren Ende den Durchmesser d2=0,8 m, am dünneren Ende den Durchmesser d1=0,64m, die Dichte habe den Wert rho0=7,8/10²kg/m³. Wo befindet sich der Schwerpunkt des Stammes, wenn sich die Dickenabnahme über die Stammlänge gleichmäßig verteilt.
|
Also es handelt sich hierbei um einen geraden Kegelstumpf. Der Schwerpunkt des Körpers verändert sich mit x also der Länge.
Die Formel für den Schwerpunkt x=(1/v)*Integral[x d V]
Die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes: 1/12*Pi*x(d2²+d2*d1+d1²)=
x=(1/0,409x)*Integral[x d 0,409x] Ehm, wie integriere ich das denn? :/ Liegt wohl an meinen fehlenden mathematischen Kenntnissen dann, aber könnte mir bitte jemand sagen, wie ich dies rechne, oder ist mein Ansatz schon Quatsch? Danke!
|
|
| |
|
Hallo!
Also, ein Integral über ein Volumen sieht generell so aus (damit fange ich mal an):
[mm] $V=\iiint1*\,dxdydz$
[/mm]
Für einen quaderförmigen Körper also kein Problem. Für deinen Kegelstumpf werden die Grenzen allerdings etwas kompliziert.
Besser sind da Zylinderkoordinaten:
[mm] x=r*\cos\phi
[/mm]
[mm] y=r*\sin\phi
[/mm]
$z=z$
Du hast also Punkte, die durch ihren Abstand r von der z-Achse, den Winkel, um den sie gegen die ursprüngliche x-Achse gedreht sind, und ihre z-Komponente (Höhe über der xy-Ebene) bestimmt werden. Das Integral sieht nun so aus:
[mm] $V=\iiint 1*\,r*drd\phi [/mm] dz$
Dieses zusätzliche r kommt daher, weil du jetzt kein "normales" Koordinatensystem hast. Es gehört bei Integralen in Zylinderkoordinaten immer da rein.
Noch ein Grund: Als Einheit soll ja ein Volumen rauskommen. $dx*dy*dz$ hat tatsächlich die Einheit eines Volumens, aber [mm] $drd\phi [/mm] dz$ nicht, das ist nur ne Fläche. Mit dem zusätzlichen r hast du wieder ein Volumen.
Nun zu den grenzen:
[mm] $\phi\in [0;2\pi]$ [/mm] sollte klar sein, denn dein Körper ist ja rotationssymmetrisch um die z-Achse.
[mm] $z\in [/mm] [0;12]$ denn der Kegel ist 12m hoch.
[mm] $r\in [/mm] [0;f(z)]$ Nu wirds ein klein wenig komplizierter: Der Radius beginnt bei 0, aber er endet nicht in einem festen Wert, sondern seine obere Grenze hängt von z ab. Ganz unten geht r bis 0,8m , ganz oben geht r bis 0,64m
Du benötigst eine Funktion, die den Radius deines Stamms abhängig von der Höhe z liefert. Mit einer guten Skizze solltest du das hinbekommen. ( Zum Prüfen: Erfüllt deine Funktion tatsächlich $f(0)=0,8$ und $f(12)=0,64$ ? )
Jetzt zur Integration: Über [mm] \phi [/mm] darfst du jederzeit integrieren, denn das taucht nirgens in deinem Integranden auf, und es gibt auch keine Funktion von [mm] \phi [/mm] in einer der Grenzen.
Anschließend integrierst du über r. Denk dran, als obere Grenze hast du eine Funktion, und keine Zahl da stehen!
Erst jetzt darfst du über z integrieren. Denn diese Funktion bei der Integration über r hat dir ein weiteres z in den Integranden gebracht, das sonst übrig bleiben würde.
Gut, jetzt weißt du, wie du das Volumen ausrechnest. Bei der Masse kommt noch die Dichte dazu:
[mm] $M=\iiint \rho*\,r*drd\phi [/mm] dz$
Das [mm] \rho [/mm] ist aber überall gleich und nicht Ortsabhängig, daher kannst du es vor das Integral ziehen:
[mm] $M=\rho*\iiint 1*\,r*drd\phi [/mm] dz$
Bis hier hin kannst du das ganze auch mit DEINER Formel ausrechnen (sofern die korrekt ist). Jetzt zum Schwerpunkt, für den du nun wirklich das Integral brauchst:
Für die z-Komponente gilt:
[mm] $z_S=\frac{1}{M}*\rho*\iiint z*\,r*drd\phi dz=\frac{1}{\rho*V}*\rho*\iiint z*\,r*drd\phi dz=\frac{1}{V}*\iiint z*\,r*drd\phi [/mm] dz$
Für die anderen Komponenten könnte man ähnlich rechnen, aber da der Körper ja symmetrisch ist, liegt der Schwerpunkt auf der z-Achse, und du brauchst sonst nix zu berechnen.
Versuch dich mal da durch zu arbeiten, zur Übung kannst du ja zunächst versuchen, das Volumen mittels Integral auszurechnen.
|
|
|
|
