Ring/ Polynom/ Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper.
Sei n > 1 eine ganze Zahl und sei R der Ring K[X] / [mm] (X^n). [/mm] Zeigen Sie , dass R[Y]* [mm] \not= [/mm] R* [mm] \not= [/mm] K*
Dabei bezeichne R* jeweils die Einheitsgruppe { a [mm] \in [/mm] R | es ex. ein b [mm] \in [/mm] R mit ab = ba = 1 } |
Huhu zusammen!
Ich mag Algebra nicht :/
K[X] ist def als { [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] | [mm] a_i \in [/mm] K } wobei ich nicht sicher bin ob
K[X] / [mm] (X^n) [/mm] die Menge ist ohne die letzte Potenz oder die Menge aller Linksnebenklassen was für mich hier keinen Sinn machen würde.
Ich weiß , dass K[X] Hauptidealring ist und K[X][Y] nicht.
ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich rangehen soll. Reicht es zu zeigen dass in einer Menge ein Element drin ist, welches in der anderen nicht drin ist? :/
|
|
| |
|
Hallo,
Damit man sich überhaupt fragen kann, ob [mm] $R^\ast\subseteq S^\ast$ [/mm] gilt, braucht man eine passende Einbettung [mm] $R\longrightarrow [/mm] S $. Wir haben einen offensichtlichen Homomorphismus $ [mm] K\longrightarrow [/mm] K [mm] [X]\longrightarrow [/mm] R $, aber ist dir klar, wieso der injektiv ist?
Weshalb $ [mm] R\longrightarrow [/mm] R [Y] $ injektiv ist, dürfte dir klar sein.
Offenbar sind homomorphe Bilder invertierbarer Elemente invertierbar, das heißt $ [mm] K^\ast\subseteq R^\ast$ [/mm] ist klar, wir müssen also $ [mm] R^\ast\not\subseteq K^\ast [/mm] $ zeigen, also ein invertierbares Element in $ R $ finden, das nicht invertierbar in $ K $ ist, bzw gar nicht in (dem Bild von) $ K $ liegt.
Invertierbar heißt $ p*q=1$. Nun ist $ R $ aber gerade so definiert, dass $ [mm] X^n=0$ [/mm] gilt, es genügt also auch $ [mm] p*q=1-X^n [/mm] $ zu finden. Kannst du zwei Polynome in $ K [X] $ angeben, die den Grad $> 0$ haben (sonst wären es einfach Körperelemente), und die $ [mm] p*q=1-X^n [/mm] $ erfüllen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Hi,
> Hallo,
>
> Damit man sich überhaupt fragen kann, ob [mm]R^\ast\subseteq S^\ast[/mm]
> gilt, braucht man eine passende Einbettung [mm]R\longrightarrow S [/mm].
> Wir haben einen offensichtlichen Homomorphismus
> [mm]K\longrightarrow K [X]\longrightarrow R [/mm], aber ist dir
> klar, wieso der injektiv ist?
Also mir ist das im Moment absolut nicht klar...
$K[x] [mm] \longrightarrow [/mm] R$ ist surjektiv, da eine Projektion, aber sicher nicht injektiv (es ist etwa [mm] $X^n$ [/mm] im Kern).
Oder meinst du einen anderen Homomorphismus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Do 06.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, also [mm] $K[X]\rightarrow [/mm] R$ ist nicht injektiv. Was gemeint ist, ist die Abbildung [mm] $\varphi:\; K\rightarrow K[X]/(X^n), a\mapsto a+(X^n)$ [/mm] (genauer: [mm] a\mapsto (aX^0)+(X^n)). [/mm] Diese ist dann injektiv.
|
|
|
|
