Reihen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Prüfen sie die Reihen auf Konvergenz
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^n - 3n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n + 1)^3}{n3^n} [/mm] |
Hi zusammen,
bei a) habe ich das Wurzelkriterium angewendet und bekommen 0 heraus was < 1 ist, also absolut konvergent.
Ist das richtig ?
bei b) weiß ich nicht so recht was ich anwenden soll um die Konvergenz zu beweisen. Kann mir da jemand weiterhelfen ?
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Hallo,
> Prüfen sie die Reihen auf Konvergenz
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^n - 3n}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n + 1)^3}{n3^n}[/mm]
> Hi
> zusammen,
>
> bei a) habe ich das Wurzelkriterium angewendet und bekommen
> 0 heraus was < 1 ist, also absolut konvergent.
Kann man so machen (und insbesondere auch gründlicher notieren).
> bei b) weiß ich nicht so recht was ich anwenden soll um
> die Konvergenz zu beweisen. Kann mir da jemand weiterhelfen
Was spricht hier gegen das WK (sofern das im Nenner tatsächlich [mm] n*3^n [/mm] heißen soll)?
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Prüfen sie die Reihen auf Konvergenz
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^n - 3n}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n + 1)^3}{n3^n}[/mm]
> Hi
> zusammen,
>
> bei a) habe ich das Wurzelkriterium angewendet und bekommen
> 0 heraus
Na, da kommt doch wohl [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] heraus ...
> was < 1 ist, also absolut konvergent.
Stimmt in der Konsequenz
>
> Ist das richtig ?
>
> bei b) weiß ich nicht so recht was ich anwenden soll um
> die Konvergenz zu beweisen. Kann mir da jemand weiterhelfen
> ?
QK ist neben dem WK auch sehr einfach zu rechnen hier!
Gruß und guten Rutsch!
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi nochmal zusammen,
hier gebe ich mal meinen Rechenweg an. Denke mal da ist einiges falsch, da ich bei Reihen echt große Probleme habe.
a)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^n - 3n}
[/mm]
WK:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{2}{2^n - 3n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{2} - \wurzel[n]{3n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{2 - \wurzel[n]{3n}}
[/mm]
[mm] n->\infty \bruch{0}{2 - 1} [/mm] = 0 <1 absolut konvergent
Denke mal mit der n-ten Wurzel stimmt so einiges nicht.
b)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n + 1)^3}{n*3^n}
[/mm]
WK:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{(2n + 1)^3}{n*3^n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{(2n + 1)^3}}{\wurzel[n]{n} * 3}
[/mm]
n-> [mm] \infty \bruch{1}{1 * 3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] < 1 absolut konvergent
Ihr seht das ich GROßE Probleme habe und könnte jede Hilfe gebrauchen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi nochmal zusammen,
>
> hier gebe ich mal meinen Rechenweg an. Denke mal da ist
> einiges falsch, da ich bei Reihen echt große Probleme
> habe.
>
> a)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^n - 3n}[/mm]
> WK:
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{2}{2^n - 3n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{2} - \wurzel[n]{3n}}[/mm] =
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt:
[mm] \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{a+b}\not=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}
[/mm]
Betrachte also erneut:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{2^n-3n}
[/mm]
Tipp:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\alpha}=1 [/mm] für [mm] \alpha>0
[/mm]
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{2 - \wurzel[n]{3n}}[/mm]
> [mm]n->\infty \bruch{0}{2 - 1}[/mm]
> = 0 <1 absolut konvergent
>
> Denke mal mit der n-ten Wurzel stimmt so einiges nicht.
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Do 09.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
erstmal danke für die Tipps zu den n-ten Wurzeln.
also habe ich folgendes:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{2^n - 3n}}
[/mm]
Aus [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] wird 1. Damit ist der Zähler durch.
Jetzt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}
[/mm]
Ich kann das ja nicht zu [mm] \wurzel[n]{2^n} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{3}*\wurzel[n]{n} [/mm] umschreiben.
Muss ich [mm] 2^n [/mm] - 3n also als a betrachten und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n} [/mm] = 1
Damit hätte ich dann [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 und damit würde ich mit dem WK keine Lösung bekommen. Stimmt das ?
Habe ich dann das QK anzuwenden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> erstmal danke für die Tipps zu den n-ten Wurzeln.
> also habe ich folgendes:
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{2^n - 3n}}[/mm]
>
> Aus [mm]\wurzel[n]{2}[/mm] wird 1.
Meinst Du damit [mm]\wurzel[n]{2} \to 1[/mm] ? Wenn ja, so schreib das auch. Anderenfalls gehst Du in einer Klausur leer aus.
> Damit ist der Zähler durch.
Nicht medium oder blutig ?
>
> Jetzt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm]
>
> Ich kann das ja nicht zu [mm]\wurzel[n]{2^n}[/mm] -
> [mm]\wurzel[n]{3}*\wurzel[n]{n}[/mm] umschreiben.
Ne, wirklich nicht.
> Muss ich [mm]2^n[/mm] - 3n also a betrachten
Was ist a ?
> und damit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm] = 1
Das ist grottenfalsch !
Überlege Dir, dass gilt:
[mm] \bruch{2^n}{2} \le 2^n-3n \le 2^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 5.
Zeige damit: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm] = 2
FRED
>
> Damit hätte ich dann [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1 und damit würde ich
> mit dem WK keine Lösung bekommen. Stimmt das ?
>
> Habe ich dann das QK anzuwenden ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Do 09.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
a habe ich aus dem vorherigen Tipp verwendet.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1
Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n} [/mm] = 2 sein muss, dann muss ja der "3n" Teil 0 sein.
Das verstehe ich jedoch nicht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3n} [/mm] = 1, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1. Oder verstehe ich das falsch ?
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Hallo,
> Hi,
>
> a habe ich aus dem vorherigen Tipp verwendet.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}[/mm] = 1
>
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm] = 2
> sein muss, dann muss ja der "3n" Teil 0 sein.
Ja
> Das verstehe ich jedoch nicht.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{3n}[/mm] = 1, da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}[/mm] = 1.
Ja
> Oder
> verstehe ich das falsch ?
Ja, es geht nicht um [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3n}[/mm] ...
Sondern um [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n-3n}[/mm]
Du schreibst immer und immer und immer wieder (oder nimmst es in deinem Kopf an): [mm]\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}[/mm], was vollkommener Quatsch ist, worauf du auch hingewiesen wurdest.
Wenn du also diesen Fehler weiter zelebrierst und immer wiederholst, wird es nicht richtiger ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 09.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe verstanden das [mm] \wurzel[n]{a + b} \not= \wurzel[n]{a} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{b}.
[/mm]
Ich weiß nur nicht wie aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n} [/mm] = 2 wird.
Wenn nur [mm] \wurzel[n]{2^n} [/mm] da stehen würde, hätte ich kein Problem.
Bei [mm] \wurzel[n]{2^n - 3n} [/mm] komme ich jedoch nicht weiter.
Könnte es mir jemand einmal zeigen wieso da 2 heraus kommt.
Ich weiß ich habe jetzt schon 2 Tipps bekommen um das selbst zu lösen, wie ihr jedoch auch sehen könnt habe ich es nicht hin bekommen.
Ich habe folgende Tipps:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1
Ich bin dankbar für die Tipps. Bei meinem Problem helfen sie mir jedoch nicht weiter.
Wird [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n} [/mm] = 2 - 0 = 2.
Das muss es wohl sein, jedoch weiß ich nicht wieso 3n=0 wird.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Do 09.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> ich habe verstanden das [mm]\wurzel[n]{a + b} \not= \wurzel[n]{a}[/mm]
> + [mm]\wurzel[n]{b}.[/mm]
>
> Ich weiß nur nicht wie aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm]
> = 2 wird.
>
> Wenn nur [mm]\wurzel[n]{2^n}[/mm] da stehen würde, hätte ich kein
> Problem.
> Bei [mm]\wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm] komme ich jedoch nicht weiter.
> Könnte es mir jemand einmal zeigen wieso da 2 heraus
> kommt.
verwende das von Fred gesagte
[mm] $2^n/2=2^{n-1} \le 2^n-3n \le 2^n$
[/mm]
für $n [mm] \ge [/mm] 5.$
Überlege Dir (kurz), dass [mm] $\sqrt[n]{\cdot} \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] (streng) monoton
wachsend ist. Damit folgt alsdann:
Für alle $x,y,z [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
$x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] z$ [mm] $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{x} \le \sqrt[n]{y} \le \sqrt[n]{z}\,.$ [/mm]
Betrachte nun speziell (siehe Freds Hinweis)
[mm] $x:=2^{n-1},\,$ $y:=2^n-3n$ [/mm] und [mm] $z:=2^n,$
[/mm]
wobei o.E. $n [mm] \ge [/mm] 5$ sei - was gilt dann für $x,y,z$ bzgl. [mm] $\le$ [/mm] nach Fred?
Einsetzen, und dann $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen - denke zudem an das
Einschließungskriterium/Sandwichkriterium.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Do 09.01.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Du kannst auch
[mm] $x=2^n/2$
[/mm]
stehen lassen, dann ist
[mm] $\sqrt[n]{x}=2/\sqrt[n]{2}.$
[/mm]
Jetzt sollte Dir sowas wie
[mm] $\sqrt[n]{r} \to [/mm] 1$ ($n [mm] \to \infty$)
[/mm]
für alle $r > 0$ bekannt sein; oder Du musst Dir das nochmal selbst überlegen bzw.
wir können uns das auch notfalls zusammen herleiten!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Do 09.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hi,
>
> ich habe verstanden das [mm]\wurzel[n]{a + b} \not= \wurzel[n]{a}[/mm]
> + [mm]\wurzel[n]{b}.[/mm]
Diesen Fehler scheinst du aber immer wieder zu machen.
>
> Ich weiß nur nicht wie aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm]
> = 2 wird.
>
> Wenn nur [mm]\wurzel[n]{2^n}[/mm] da stehen würde, hätte ich kein
> Problem.
> Bei [mm]\wurzel[n]{2^n - 3n}[/mm] komme ich jedoch nicht weiter.
> Könnte es mir jemand einmal zeigen wieso da 2 heraus
> kommt.
> Ich weiß ich habe jetzt schon 2 Tipps bekommen um das
> selbst zu lösen, wie ihr jedoch auch sehen könnt habe ich
> es nicht hin bekommen.
>
> Ich habe folgende Tipps:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}[/mm] = 1
>
Ich glaube, dass du denkst, dass man den Limes - auf Grund der Stetigkeit - reinziehen darf.
Das gilt aber Allgemein nicht. Gegenbeispiel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\not=1
[/mm]
Das Gleiche gilt auch für die $n$-te Wurzel!
Bei diesem Limes könntest du dir folgendes überlegen:
[mm] \wurzel[n]{2^n - 3n}=\sqrt[n]{2^n(1-\frac{3n}{2^n})}=2\sqrt[n]{n-\frac{3n}{2^n}}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2^n - 3n})\limes_{n\rightarrow\infty}2\sqrt[n]{n-\frac{3n}{2^n}}=2\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n-\frac{3n}{2^n}}
[/mm]
Dann weiter mit Marcel's oder Fred's Antwort 
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 09.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
damit habe ich nicht gerechnet, das ich die Aufgabe richtig gelöst habe.
In diesem Falle wohl mehr Glück als Verstand. Aber dank deiner Tipps bei der Aufgabe a) kann ich es jetzt nachvollziehen was ich da gemacht habe.
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