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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 13.04.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Es sei f : [−a, a] → R. Man zeige, f lässt sich als Summe einer
geraden und einer ungeraden Funktion schreiben, d. h. f(x) = g(x) + u(x) für alle −a ≤ x ≤ a mit g gerade und u ungerade. |
Hallo,
diese Aufgabe hat unser Lehrer heute vor gerechnet. Leider kann ich damit aber überhaupt nichts anfangen. Ich hoffe daher es kann mir jemand erklären. Hier kommt die schreibweise von unserem Lehrer.
g(−x) [mm] =\bruch{f(−x) + f(−(−x))}{2}=\bruch{f(−x) + f(x)}{2}=g(x)
[/mm]
Wie kommt er hier den jetzt auf folgendes f(−x) + f(−(−x))
???
u(−x) [mm] =\bruch{f(−x) − f(−(−x))}{2}=\bruch{f(−x) − f(x)}{2}= [/mm] −u(x)
Es sagt zu uns wir sollten uns das mal ansehen. Aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht was er da gemacht hat.
Würde mich sehr freuen wenn mir das vllt jemand ein bisschen erläutern/ erklären könnte.
Mfg
RWBK
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Hallo RWBK,
nun, er definiert die gerade Funktion [mm]g(x)[/mm] durch
[mm]\red{g(x):=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}[/mm]
Dann steht da (leicht verstümmelt) die Probe, ob [mm]g[/mm] auch wirklich gerade ist.
Es wird rechnerisch gezeigt, dass [mm]g(-x)=g(x)[/mm] gilt.
Rechne es nach! Damit ist [mm]g[/mm] gerade.
Dann wird die ungerade Funktion [mm]u(x)[/mm] definiert durch
[mm]\blue{u(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}[/mm]
Dann wird gezeigt, dass [mm]u[/mm] tatsächlich ungerade ist, dass also gilt: [mm]u(-x)=-u(x)[/mm]
Dann setze mal zusammen, berechne [mm]\red{g(x)}+\blue{u(x)}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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