Rechteckimpuls Amplitudenspekt < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Master90 |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1: Amplitudenspektrum vom Rechteckimpuls
In der Übung wurde die Berechnung der Fourierkoeffzienten für einen periodischen Rechteckimpuls vorgestellt.
Funktion f(x) = y0 für 0<=x<=x0
und 0<=x0x<=T für das Intervall [0,T]
a) Zeigen Sie, dass die Amplituden für dieses Beispiel gegeben sind durch
A0 =y0x0/T
;
An =2y0/(n*pi) |sin(pi*n*x0/T) |; für n = 1; 2; ....
b)Bestimmen Sie die Nullstellen des Amplitudenspektrums (analytisch). Was passiert, wenn x0 einengroßen bzw. kleinen Wert annimmt? |
| Aufgabe 2 | Gegeben sei folgende 2pi-periodische Funktion:
f(x) = x für 0<=x<=pi
und 2pi-x für pi<=x<=2pi
a) Bestimmen Sie die Fourierkoeffzienten (a0; an; bn; (n = 1; 2; :::)) für diese Funktion. (Tipp: Einige
Werte für die Fourierkoeffzienten können Sie auch ohne Rechnung anschaulich begründen.)
b) Bestimmen Sie die Amplituden und stellen Sie das Spektrum bis zur Ordnung n = 8 dar. |
Wir wissen dass A0=Wurzel [mm] (a0^2 [/mm] + [mm] b0^2) [/mm] ist bzw An=Wurzel [mm] (an^2 [/mm] + [mm] bn^2)
[/mm]
a0= 2y0x0/T
Kann mir jemand bei b0 helfen zu bestimmen?
und bei an= y0/2pi * sin n*omega*x0
bn= y0/2pi* [mm] [1-cos(n*omega*x]^2
[/mm]
Könnt ihr mir helfen dies umzustellen, dass ich auf das in der Aufgabestellung gewünschte Ergebnis komme?
Bei Teilaufgabe b) fehlt mir gänzlich die Ahnung!
Bei Aufgabe 2 habe ich noch keine Wirkliche Ahnung wie ich das angehen kann.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Master90,
mit der Definition der Fourierkoeffizienten für eine beliebige Periodendauer T kannst Du die Werte berechnen.
Die an-Koeffizienten gehören zu den Schwingungsformen des Cosinus, die bn-Koeffizienten zu denen des Sinus. Bezüglich des Nullpunktes ist der Cosinus eine gerade Funktion, der Sinus eine ungerade. Daraus kann man schon mal schließen, dass eine gerade Funktion komplett durch Cosinuskoeffizienten beschreibbar ist, eine ungerade Funktion komplett durch Sinuskoeffizienten.
Wie lautet nun die Voorschrift zur Berechnung der Koeffizenten? Ich tippe sie hier mal rein.
[mm] a_n = \bruch{2}{T} \int_0^T f(x) \cos (\bruch{2\pi}{T} nx) \, dx [/mm]
Der Laufndex n startet bei n = 1
Für n = 0 gilt:
[mm] a_0 = \bruch{2}{T} \int_0^T f(x) \, dx [/mm]
und dieser Wert geht mit halber Gewichtung, also [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm], in die Fourierdarstellung ein.
Für die Sinuskoeffizienten bekommt man entsprechend, mit einem Laufindex, der bei n =1 beginnt
[mm] b_n = \bruch{2}{T} \int_0^T f(x) \sin (\bruch{2\pi}{T} nx) \, dx [/mm]
Da in Deiner ersten Aufgabe ein Teil der Funktion den Wert Null besitzt, langt es, nur bis zum Wert x0 zu integrieren.
[mm] a_n = \bruch{2}{T} \int_0^{x_0} y_0 \cos (\bruch{2\pi}{T} nx) \, dx [/mm]
Für a0 kriegt man sofort:
[mm] a_0 = \bruch{2}{T} \int_0^{x_0} y_0 \, dx = \bruch{2 x_0 y_0}{T} [/mm]
und
[mm]a_n = \bruch{2}{T} \int_0^{x_0} y_0 \cos (\bruch{2\pi}{T} nx) \, dx [/mm]
oder
[mm] a_n = \bruch{2y_0}{T} \int_0^{x_0} \cos (\bruch{2\pi}{T} nx) \, dx [/mm]
Integriert bekommt man
[mm] a_n = \bruch{2y_0T}{2 \pi n T} \sin (\bruch{2\pi}{T} nx) \|_0^{x_0} [/mm]
oder auch
[mm] a_n = \bruch{y_0}{ \pi n} \sin (\bruch{2\pi}{T} nx_0)[/mm]
Du siehst, Deine Ergebnisse snid ähnlich, aber ein Faktor 2 ist noch dazwischen und wohin der Faktor 2 im Argument der Sinusfunktion entschwunden sein soll, das weiß ich beim besten Willen nicht.
Soviel erst mal zum Start.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Master90 |
Danke schonmal für die schnelle antwort.
Ja A0 hatte ich schon raus. Bei Bn weiss ich ja das es
[mm] \bruch{2}{T} \integral_{0}^{x0}{y0 * sin(omega*n*x) dx}
[/mm]
würde letztendlich
[mm] \bruch{y0}{n*pi}(1-cos(omega*n*x0) [/mm] ergeben
wenn ich jetzt aber n=0 setzte müsste doch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ergeben?
weil ich muss das ganze ja in die formel
A0 = Wurzel [mm] (an^2+bn^2) [/mm] bringen können
um auf A0 = [mm] \bruch{y0x0}{T}
[/mm]
A ist gleich die Amplitude
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Master90,
hier musst Du aufpassen, der Laufindex der bn-Koeffizienten befinnt erst bei 1.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Master90 |
Das heisst also,
wenn bn = [mm] \bruch{y0}{n*pi} [/mm] (1-cos omega*n*x0)
und ich brauche praktisch [mm] (b0)^2
[/mm]
Muss ich dann n=1 setzen, weil das die erste Stelle ist oder fällt dieser Part weg, weil die Laufzeit praktisch erst beie 1 beginnt, so dass die Amplitude für A0 = [mm] \wurzel{a0^2 + b0^2} [/mm] nur [mm] \wurzel{a0^2}ist [/mm] und damit a0=A0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
es gibt kein b0, wie ich bereits sagte, die Reihe beginnt bei n=1, also bei b1.
Was Du doch machst, ist, dass Du eine vorgegebene periodische Funktion mithilfe zweier elementarer Grundfunktionen ausdrückst, nämlich der Cosinus- und der Sinusfunktion. Durch die vorgegebene Periodendauer passen, ich sage es mal so leger, in diese Zeitspanne nicht nur Grundschwingungen von Sinus und Cosinus, sondern auch ganzzahlige Oberschwingungen und dies sind gerade die Werte für die Laufindizes ab dem Wert 2.
Der Cosinus spielt hier eine Sonderrolle, da er mit dem Laufindex 0 noch etwas Spezielles ausdrücken kann, nämlich den Gleichanteil des Signales innerhalb der betrachteten Periodendauer. Mehr steckt da nicht dahinter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Sa 18.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_0 [/mm] und [mm] b_0 [/mm] müss man immer einzeln berechnen
in deinem Fall ist [mm] b_0=0
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] und [mm] b_0 [/mm] geben an. wie weit die entsprechenden Schwingungen nach oben verschoben sind, also nicht um 0 pendeln.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Master90 |
Wenn ich das jetzt Richtig verstanden habe Ergibt
bn= [mm] \bruch{y0}{n*pi}(1- [/mm] cos [mm] (\bruch{2*pi*n}{T}*x0)
[/mm]
, wenn ich für n "unendlich" einsetze auch 0
so dass mein Amplitudenspektrum An = an ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Master,
ich muss mich hiwer nochmal melden, denn Deine Schlussfolgerung stimmt so nicht. Die Amplituden der einzelnen Oberschwingungen gehen mit wachsendem n gegen Null, das gilt auch für die an-Werte, die zum Cosinus gehören.
Nur wenn das in eine Fourierreihe entwickelte Signal durch eine gerade Funktion beschrieben wird, tauchen nur die an-Koefizienten auf, sonst schon. Da Du keine Angabe machst, wo Dein x0 im Vergleich zur Periodendauer T liegst, werden im allgemeinen Fall also sowohl an- wie auch bn-Koeffizienten auftauchen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Master90 |
Aber ich glaube bei mir Stoßt man im Moment auf Beton, habe eine Riesen Blockade, so dass ich selbst daran zweifel das ganze zu verstehen und zu der Lösung zu kommen. Aber Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 So 19.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Master,
male Dir zur Aufgabe 2 die Funktion mal auf und Du wirst sehen, dass dies eine gerade Funktion ist, die in eine Fourierreihe entwickelt werden soll. Die bn-Koeffzienten haben demzufolge den Wert Null.
Die an-Koeffizenten bleiben nur übrig und das Amplitudenspektrum entspricht in diesem Falle genau dem Wert der an-Koeffizienten.
Viele Grüße,
Infinit
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