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R mit üblicher Topologie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Sa 09.02.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
[mm] \IR [/mm] mit der üblichen Topologie ist ein Hausdorffraum.

[mm] \IR [/mm] mit der üblichen Topologie..
Menge U [mm] \subset \IR [/mm] offen <=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \epsilon(x) [/mm] : (x- [mm] \epsilon, [/mm] x+ [mm] \epsilon) \subset [/mm] U


Ich weiß nicht recht wie ich zeigen kann dass es sich um einen hausdorffraum handelt.
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \not= [/mm] y [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] U(x), [mm] \exists [/mm] V [mm] \in [/mm] U(y)
Wie soll ich die Umgebungen wählen?

        
Bezug
R mit üblicher Topologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Sa 09.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> [mm]\IR[/mm] mit der üblichen Topologie ist ein Hausdorffraum.
>  [mm]\IR[/mm] mit der üblichen Topologie..
>  Menge U [mm]\subset \IR[/mm] offen <=> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\exists \epsilon(x)[/mm]

> : (x- [mm]\epsilon,[/mm] x+ [mm]\epsilon) \subset[/mm] U


> Ich weiß nicht recht wie ich zeigen kann dass es sich um
> einen hausdorffraum handelt.
>  [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR,[/mm] x [mm]\not=[/mm] y [mm]\exists[/mm] U [mm]\in[/mm] U(x), [mm]\exists[/mm]
> V [mm]\in[/mm] U(y)
>  Wie soll ich die Umgebungen wählen?

Na wähle einfach zwei offene Intervalle, die sich nicht überschneiden!

Wegen [mm] $x\not= [/mm] y$ ist $d := [mm] \frac{|x-y|}{4} [/mm] > 0$.
Die offenen Intervalle

$(x-d,x+d)$ und $(y-d,y+d)$

überschneiden sich nicht.


Viele Grüße,
Stefan



Bezug
                
Bezug
R mit üblicher Topologie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 So 10.02.2013
Autor: theresetom

Hallo
Stimmt meine Argumentation:
[mm] U_x [/mm] = (x-d,x+d)
[mm] U_y [/mm] = (y-d,y+d)

Sei z [mm] \in U_x \cap U_y [/mm] => |x-z|<d, |z-y| <d
4d = |x-y| [mm] \le [/mm] |x-z|  + |z-y| < 2d
was ein widerspruch ist.



Bezug
                        
Bezug
R mit üblicher Topologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 So 10.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Hallo
>  Stimmt meine Argumentation:
>  [mm]U_x[/mm] = (x-d,x+d)
>  [mm]U_y[/mm] = (y-d,y+d)
>  
> Sei z [mm]\in U_x \cap U_y[/mm] => |x-z|<d, |z-y|="" <d<br="">>  4d = |x-y| [mm]\le[/mm] |x-z|  + |z-y| < 2d

>  was ein widerspruch ist.

Genau!
Damit hast du nachgewiesen, dass [mm] $U_x \cap U_y [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm]

Viele Grüße,
Stefan

</d,>

Bezug
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