R^3 auf R^4 abbilden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 05.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektorräume V = [mm] R^3 [/mm] und W = [mm] R^4 [/mm] mit den Basen [mm] B=E={e_1,e_2,e_3} [/mm] und c = {(1,-1,1,1),(1,0,2,2),(-1,0,1,0),(0,0,1,0)}.
Die lineare Abbildung L : V -> W sei gegeben durch
[mm] L(e_1) [/mm] = (1,-1,5,3), [mm] L(e_2) [/mm] = (1,-2,1,2), [mm] L(e_3) [/mm] = (-1,0,7,2).
Bestimmen sie
a) die zugehörige Matrix [mm] M^{C,B}_L
[/mm]
b) für beliebige Vektoren x element [mm] R^3 [/mm] die Koordinaten (L(x))c des Bildvektors bzgl. der Basis C. |
Im Grunde ist mir klar was das Problem ist und wie man es löst, nur leider kenn ich den Rechenweg einfach nicht und weis nich wie ich überhaupt anfangen soll.
Durch die definitionen von [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] wissen wir ja sozusagen 3 Zeilen der neuen Matrix, die vierte fehlt uns ja, somit resultieren 4 unbekannten. Durch C sind uns ja 4 linear unabhängige Vektoren gegeben (jedenfalls kam ich darauf) wodurch wir die Unbekannten errechnen könnten.
Ich weis nur leider einfach nicht wie das geht und kam nach längerem Lesen und googlen auf kein grünen Zweig.
Danke schonmal für die Hilfe.
Grüße Phil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Philphil,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben seien die Vektorräume V = [mm]R^3[/mm] und W = [mm]R^4[/mm] mit den
> Basen [mm]B=E={e_1,e_2,e_3}[/mm] und c =
> {(1,-1,1,1),(1,0,2,2),(-1,0,1,0),(0,0,1,0)}.
> Die lineare Abbildung L : V -> W sei gegeben durch
> [mm]L(e_1)[/mm] = (1,-1,5,3), [mm]L(e_2)[/mm] = (1,-2,1,2), [mm]L(e_3)[/mm] =
> (-1,0,7,2).
> Bestimmen sie
> a) die zugehörige Matrix [mm]M^{C,B}_L[/mm]
> b) für beliebige Vektoren x element [mm]R^3[/mm] die Koordinaten
> (L(x))c des Bildvektors bzgl. der Basis C.
> Im Grunde ist mir klar was das Problem ist und wie man es
> löst, nur leider kenn ich den Rechenweg einfach nicht und
> weis nich wie ich überhaupt anfangen soll.
> Durch die definitionen von [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] wissen wir ja
> sozusagen 3 Zeilen der neuen Matrix, die vierte fehlt uns
> ja, somit resultieren 4 unbekannten. Durch C sind uns ja 4
> linear unabhängige Vektoren gegeben (jedenfalls kam ich
> darauf) wodurch wir die Unbekannten errechnen könnten.
> Ich weis nur leider einfach nicht wie das geht und kam
> nach längerem Lesen und googlen auf kein grünen Zweig.
>
Die Bilder der Vektoren aus B sind als
Linearkombination der Vektoren aus C darzustellen:
[mm]L\left(e_{1}\right)=\alpha*\pmat{1 \\ -1 \\ 1 \\ 1}+\beta*\pmat{1 \\ 0 \\ 2 \\ 2}+\gamma*\pmat{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+\delta*\pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\0}[/mm]
Dann ist [mm]\pmat{\alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta}[/mm] eine Spalte der Matrix [mm]M^{C,B}_L[/mm].
Für [mm]L\left(e_{2}\right), \ L\left(e_{3}\right)[/mm] entsprechend.
> Danke schonmal für die Hilfe.
> Grüße Phil
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo
Das heißt ich setzte dann die Linearkombinationen aus C gleich dem was wir für [mm] L(e_1) [/mm] bis [mm] L(e_3) [/mm] gegeben haben, rechne jeweils [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] aus und das ergibt dann jeweils einer Spalte in meiner neuen Matrix. Aber da das eine 4 Dimensionen Matrix ist, fehlt mir doch da dann eine Spalte oder nicht?
Danke schonmal
Phil
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> Hallo
>
> Das heißt ich setzte dann die Linearkombinationen aus C
> gleich dem was wir für [mm]L(e_1)[/mm] bis [mm]L(e_3)[/mm] gegeben haben,
> rechne jeweils [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] aus und
> das ergibt dann jeweils einer Spalte in meiner neuen
> Matrix.
Hallo,
.
Du planst es richtig.
> Aber da das eine 4 Dimensionen Matrix ist,
Du meinst: eine Matrix mit 4 Zeilen.
> fehlt
> mir doch da dann eine Spalte oder nicht?
Nein. Matrizen müssen nicht quadratisch sein.
Die Darstellungsmatrix einer Abbildung aus dem [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR^m [/mm] hat das Format [mm] m\times [/mm] n.
>
> Danke schonmal
> Phil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Ah ok vielen dank :)
ich muss mich so langsam echt mal von dem Schulmathe lösen...
Bei der b) hab ich mir überlegt, dass ich meine neu "gefundende" Matrix mit [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] durchmultiplizieren, also:
(L(x))c = [mm] \pmat{1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 } \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
Stimmt meine Überlegung?
Vielen dank schonmal :)
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Hallo Philphil,
> Ah ok vielen dank :)
> ich muss mich so langsam echt mal von dem Schulmathe
> lösen...
>
> Bei der b) hab ich mir überlegt, dass ich meine neu
> "gefundende" Matrix mit [mm]x_1[/mm] - [mm]x_3[/mm] durchmultiplizieren,
> also:
>
> (L(x))c = [mm]\pmat{1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 } \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> Stimmt meine Überlegung?
>
Ja.
> Vielen dank schonmal :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
erstmal muss ich mein Danke für die schnellen Antworten aussprechen ihr habt mir sehr geholfen.
Ich habe trotzdem noch ein Verständnis problem.
Ich habe das jetzt mal fix ausgerechnet und kamm dann auf folgendes ergebnis:
(L(x))c = [mm]\pmat{1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 } \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = [mm] 4x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + 6 [mm] x_3 [/mm]
Das würde ja heißen wir haben jetzt eine Gleichung mit der wir für beliebige Vektoren aus dem [mm] R^3 [/mm] die Koordinaten in dem Bild des [mm] R^4 [/mm] ausrechnen können?! Aber dann fehlt doch eine Variable für die 4. Zahl, da wir ja in den [mm] R^4 [/mm] abbilden...?!
Tut mir leid ich versteh den letzten Teil der Frage nicht ganz: "...die Koordinaten (L(x))c des Bildvektores bzgl. der Basis C.". Dieses bzgl. der Basis C verunsichert mich, sowie das oben genannte (4.Zahl).
Danke schonmal für deine Mühe...
Gruß Phil
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> Hallo,
>
> erstmal muss ich mein Danke für die schnellen Antworten
> aussprechen ihr habt mir sehr geholfen.
>
> Ich habe trotzdem noch ein Verständnis problem.
> Ich habe das jetzt mal fix ausgerechnet und kamm dann auf
> folgendes ergebnis:
>
> (L(x))c = [mm]\pmat{1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 3 } \pmat{x_1 \\
x_2 \\
x_3}[/mm]
> = [mm]4x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + 6 [mm]x_3[/mm]
Hallo,
hier läuft etwas ganz, ganz schief: als Ergebnis muß doch ein Vektor des [mm] \IR^4 [/mm] herauskommen!
Du verwendest eine selbstausgedachte Matrizenmultiplikation...
In echt geht das so:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 } \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}$ =\vektor{1*x_1+2*x_2+0*x_3\\1*x_1+0*x_2+1*x_3\\1*x_1+1*x_2+2*x_3\\1*x_1-2*x_2+3*x_3}_{(C)}.
[/mm]
>
> Das würde ja heißen wir haben jetzt eine Gleichung mit
> der wir für beliebige Vektoren aus dem [mm]R^3[/mm] die Koordinaten
> in dem Bild des [mm]R^4[/mm] ausrechnen können?!
Wir können mit der Matrix [mm] M_L^{C;B} [/mm] per Multiplikation das Bild von Vektoren [mm] x\in \IR^3, [/mm] also L(x), ausrechnen, und zwar wird uns das Ergebnis in Koordinaten bzgl der Basis C geliefert.
> Aber dann fehlt
> doch eine Variable für die 4. Zahl, da wir ja in den [mm]R^4[/mm]
> abbilden...?!
Es fehlte bei Dir an einigem...
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> Tut mir leid ich versteh den letzten Teil der Frage nicht
> ganz: "...die Koordinaten (L(x))c des Bildvektores bzgl.
> der Basis C.". Dieses bzgl. der Basis C verunsichert mich,
> sowie das oben genannte (4.Zahl).
Ich habe an das Ergebnis der Multiplikation das C als Index drangehängt, damit man nicht vergißt, daß es um Koordinaten bzgl C geht.
Mit [mm] C:=(\vektor{1\\-1\\1\\1},\vektor{1\\0\\2\\2},\vektor{-1\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1\\0})
[/mm]
ist
[mm] \vektor{1*x_1+2*x_2+0*x_3\\1*x_1+0*x_2+1*x_3\\1*x_1+1*x_2+2*x_3\\1*x_1-2*x_2+3*x_3}_{(C)}=(1*x_1+2*x_2+0*x_3)*\vektor{1\\-1\\1\\1}+(1*x_1+0*x_2+1*x_3)*\vektor{1\\0\\2\\2}+(1*x_1+1*x_2+2*x_3)\vektor{-1\\0\\1\\0}+(1*x_1-2*x_2+3*x_3)\vektor{0\\0\\1\\0}= [/mm] ...
LG Angela
>
> Danke schonmal für deine Mühe...
> Gruß Phil
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Oh da hab ich ja einiges verbaut, aber so macht das mehr Sinn und meine Fragen sind somit geklärt.
Vielen Dank euch zwei :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Ah was ich auch noch gerne wissen würde, wie man so etwas dann zeichnen würde, vllt nicht grad [mm] R^4, [/mm] aber zum Beispiel
A [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und A [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] im einheitsquadrat [0,1]x[0,1] unter A.
Steht leider wie so oft mal wieder nichts im Skript :(
Gruß Phil
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> Ah was ich auch noch gerne wissen würde, wie man so etwas
> dann zeichnen würde, vllt nicht grad [mm]R^4,[/mm] aber zum
> Beispiel
> A [mm]\vektor{1 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0}[/mm] und A [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
1}[/mm] im einheitsquadrat [0,1]x[0,1] unter A.
Hallo,
was Du schreibst, ist kraus - aber ich reime mir mal zusammen, was Du willst:
Du hast eine lineare Abbildung bzw. Matrix A gegeben mit A [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] = [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und A [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] = [mm] $\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] ,
und Du sollst das Bild des Einheitsquadrates unter A einzeichnen, richtig?
Na, dann nimmst Du die vier Eckpunkte des Quadrates, [mm] \vektor{0\\0}, \vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}, \vektor{0\\1}, [/mm] rechnest aus, worauf sie abgebildet werden, zeichnest die Punkte ein und verbindest sie. Keine Zauberei!
LG Angela
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> Steht leider wie so oft mal wieder nichts im Skript :(
>
> Gruß Phil
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
Achso :D manchmal stolpere ich über meine eigene Dummheit.
Danke, ich dachte es wär viel schwerer...
Gruß Phil
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