www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - Quotiententopologie
Quotiententopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Quotiententopologie: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:33 Di 09.02.2016
Autor: Laura22

Hallo! :)

Ich habe heute in einer Topologievorlesung eine Aussage gehört, mit der argumentiert wurde, dass zwei Quotientenräume homöomorph seien. Dieses versuche ich gerade nachzuvollziehen:

Sei K [mm] \subset [/mm] X kompakt und [mm] \tilde{\pi} [/mm] die Einschränkung der Quotientenabbildung [mm] \pi: [/mm] X [mm] \to X/\sim [/mm] auf K mit [mm] \pi(K)=X/\sim. [/mm]
Dann gilt [mm] K/\sim ~\cong X/\sim. [/mm]

Nun frage ich mich, wie man zeigt, dass das wirklich gilt. (Und ob es überhaupt gilt. Wenn nicht, gibt es vllt. eine ähnliche Aussage?) Ach ja, warum muss die Menge kompakt sein? Was kann passieren, wenn man eine offene Teilmenge stattdessen wählen würde? Falls mich jemand hier erhellen könnte, wäre das großartig. Ich bedanke mich schonmal recht herzlich!

Viele Grüße,
Laura

        
Bezug
Quotiententopologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Di 09.02.2016
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

vorab sollte ich dazusagen, dass ich nicht ganz fit in Topologie bin und deshalb eventuell Unsinn erzähle.

Zunächst einmal besagt die universelle Eigenschaft des Quotienten: Ist [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf $A$ und [mm] $f\colon A\longrightarrow [/mm] B$ eine stetige Abbildung mit [mm] $x\sim y\implies [/mm] f(x)=f(y)$, so gibt es eine eindeutige stetige Abbildung [mm] $A/\sim\xrightarrow{\widetilde{f}}B$ [/mm] mit [mm] $\widetilde{f}\circ\pi=f$. [/mm] Die induzierte Abbildung ist genau dann injektiv, wenn auch [mm] $f(x)=f(y)\implies x\sim [/mm] y$ gilt, und genau dann surjektiv, wenn $f$ surjektiv ist.

In unserer Situation betrachten wir [mm] $f\colon K\hookrightarrow X\longrightarrow X/\sim$, [/mm] wobei [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf $X$ ist, und $K$ ein Unterraum, die Abbildung [mm] $K\hookrightarrow [/mm] X$ ist die Einbettung. Versehen wir $K$ mit der Einschränkung von [mm] $\sim$, [/mm] so hat die obige Verknüpfung von stetigen Abbildungen offenbar die Eigenschaft, dass [mm] $x\sim y\iff [/mm] f(x)=f(y)$, für [mm] $x,y\in [/mm] K$. Wir erhalten daher eine injektive stetige Abbildung [mm] $K/\sim\longrightarrow X/\sim$. [/mm] Die Voraussetzung [mm] $\pi(K)=X/\sim$ [/mm] besagt gerade, dass $f$ surjektiv ist und daher die Abbildung [mm] $K/\sim\longrightarrow X/\sim$ [/mm] auch surjektiv und damit bijektiv ist.

Die Frage ist nun, weshalb die bijektive stetige Abbildung sogar ein Homöomorphismus sein soll. Unter der Voraussetzung, dass $K$ kompakt und $X$ Hausdorffsch ist, ist das eine gute Übungsaufgabe, die du dir einmal überlegen kannst. Lässt man eine der Voraussetzungen fort, ist die Aussage meines Erachtens nach falsch.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Quotiententopologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Di 09.02.2016
Autor: Thomas_Aut

hallo UO,

Du hast recht - i.A. Liegt nur dann ein Homoömorphismus vor, wenn K kompakt und X ein T2 raum ist.
Es genügt zu zeigen, dass die Umkehrabbildung  K [mm] \to [/mm] X stetig ist.

Lg

Bezug
                        
Bezug
Quotiententopologie: Danke und Übung gelöst :P.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Mi 10.02.2016
Autor: Laura22

Hey ihr beiden! Genau sowas hatte ich mir erhofft. Jetzt habe ich das endlich mal verstanden!!! Also muss ich noch fordern, dass X Hausdorffraum ist. Naja, in unserem Beispiel in der VL war der Raum auf jeden Fall Hausdorffsch...

Die Aussage als Übungsaufgabe geht eigentlich auch sofort durch. In kurz:
X kompakt, Y Hausdorffsch, f bijektiv und stetig. zzg. [mm] f^{-1} [/mm] stetig.
Sei A [mm] \subset [/mm] X abgeschlossene Teilmenge.
Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind selbst kompakt, d.h. A kompakt. f(A) kompakt, da f stetig. Kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen, also ist f(A) abgeschlossen und das bedeutet, dass [mm] f^{-1} [/mm] stetig ist. Bijektiv, stetig und f^-1 stetig => f Homöo.

Liebe Grüße und danke nochmal,
Laura

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de