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Forum "Uni-Numerik" - QR-Zerlegung
QR-Zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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QR-Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Mo 13.04.2009
Autor: oby

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die dünne QR-Zerlegung A = [mm] Q_1R_1 [/mm] eindeutig ist, falls A aus [mm] R^{m;n} [/mm] (m > n) vollen
Spaltenrang hat. [mm] Q_1 \in R^{m;n} [/mm] hat dabei orthonormale Spalten und R1 [mm] \in R^{n;n} [/mm] ist obere Dreiecksmatrix.
Desweiteren geht [mm] R_1 [/mm] aus dem unteren Dreiecksfaktor G der Cholesky-Faktorisierung von [mm] A^T [/mm] A durch die Identität R = [mm] G^T [/mm] hervor.

Hallo Matheraum.
Hab hier eine Aufgabe zur QR-Zerlegung als Hausaufgabe auf. Hab mich inzwischen schon mit der QR-Zerlegung "angefreundet" und weiss zumindest, dass ich die über Gram-Schmidt herauskriegen kann. Bei dieser Aufgabe hab ich aber so wirklich meine Probleme:
1.Was ist eine "dünne" QR-Zerlegung?
2.Ist eine QR-Zerlegung nicht sowieso immer eindeutig (ich meine, das funktioneiert ja immer nach nem ganz einfachen Eindeutigen(!) Algorithmus) Also es kann ja da nie passieren, dass ich zwei Ergebnisse rausbekomme...
3.Ich hab noch nie was von ner Cholesky-Faktorisierung gehört.
4.Im insgesamten weiss ich also auch gar nicht wo und wie ich da ansetzen soll, dacht mir das könnte was mit dem Zusammenhang "voller Spaltenrang"<-> "linear unabhängige Spaltenvektoren" zutun haben, aber das ist ja eh klar, dann man ja ne Orthonormalbasis für Q rauskriegt...

Ich hoffe es kent sich jemand diesbezüglich aus und kann mir weiterhelfen oder zumindest beim Ansatz ein paar Ideen liefern. Vielen Dank schonmal!
MfG OBy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
QR-Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Di 14.04.2009
Autor: feo

Schau mal hier,

[]Link

[]Numerische-Mathematik-projektorientierte-Mathematiker-Naturwissenschaftler

das Buch werde ich mir heute vor der Vorlesung mal ausleihen. Beweis unter 13.5.3.

davon abgesehen glaube ich das die Aussage falsch ist: Einfaches Gegenbeispiel: [mm] $A=\pmat{ 1 \\ 1 }=\pmat{ 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} } \pmat{ \sqrt{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} } \pmat{ -\sqrt{2} } [/mm] $
erfüllt obige Voraussetzungen der Aufgabenstellung.

Nachtrag: Aufgabe ist falsch, weil sie offenbar beim Abschreiben den wichtigen Fakt (siehe google book) r_ii>0 vergessen haben. Die 2. Aussage (falls es eine ist) ist dann auch nicht mehr korrekt. Falls es keine ist, dann ergibt sich das r_ii>0 automatisch.

[]Cholesky-Zerlegung

Aber da das Wort "Desweiteren" benutzt wurde muss man davon ausgehen dass es 2 einzelne Aussagen sind.

Gruß
Felix

Bezug
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