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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Potenzieren von kompl. Zahlen
Potenzieren von kompl. Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Potenzieren von kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Mi 06.05.2015
Autor: impliziteFunktion

Hallo,

ich habe eine relativ einfache Frage.

Nämlich wenn ich eine komplexe Zahl potenziere, darf ich dann die üblichen Potenzgesetze so verwenden wie im reellen?

Wenn ich etwa den komplexen Ausdruck

[mm] $e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}$ [/mm] habe.

Und ich Forme dann mittels Potenzgesetzen um so, dass ich die Eulersche Identität erhalte, so erhalte ich als Ergebnis stets die 1, denn

[mm] $e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}=\left(e^{\pi\cdot i}\right)^{\frac25}=\left(\left(e^{\pi\cdot i}\right)^2\right)^{\frac15}=((-1)^2)^{\frac{1}{5}}=1^{\frac15}=1$ [/mm]

Diese Umformung im komplexen Zuzulassen macht aber eigentlich keinen Sinn.
Wo steckt hier der Fehler, bzw. worauf muss man aufpassen?

Danke.

        
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Potenzieren von kompl. Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mi 06.05.2015
Autor: Valerie20


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Potenzieren von kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mi 06.05.2015
Autor: impliziteFunktion

Oh stimmt, das war aber eher ein Tippfehler...

Aber dann könnte ich ja auch sowas machen:


[mm] $e^{i\pi}=e^{\frac{2}{2}i\pi}=(e^{2i\pi})^{\frac12}=1$ [/mm]

Was jedoch keinen Sinn ergibt, wenn die Potenzgesetze weiterhin gelten.
Beim Wurzelziehen einer komplexen Zahl hat man ja das Problem, dass diese nicht mehr eindeutig ist

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Potenzieren von kompl. Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mi 06.05.2015
Autor: fred97

In [mm] \IC [/mm] ist die Potenz [mm] z^w [/mm] nicht eindeutig.

Es ist zwar [mm] z^w=e^{w*\log(z)}, [/mm] aber der Logarithmus hat in [mm] \IC [/mm] abz. unendlich viel Zweige.

FRED

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Potenzieren von kompl. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mi 06.05.2015
Autor: impliziteFunktion

Eine Rechnung wie diese hier wäre doch korrekt, oder:

[mm] $\left(e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{n+1}}\right)^{n+1}=e^{2\pi\cdot i\cdot k}=(e^{\pi\cdot i})^{2k}=1$ [/mm]

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Potenzieren von kompl. Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mi 06.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Eine Rechnung wie diese hier wäre doch korrekt, oder:
>  
> [mm]\left(e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{n+1}}\right)^{n+1}=e^{2\pi\cdot i\cdot k}=(e^{\pi\cdot i})^{2k}=1[/mm]

ja. [mm] ($e^{i\cdot (k \cdot 2\pi)}=1$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ$.) [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Potenzieren von kompl. Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:56 Mi 06.05.2015
Autor: impliziteFunktion

Ok, vielen Dank.

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Potenzieren von kompl. Zahlen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:49 Mi 06.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Die Potenzgesetze  gelten in [mm] \IC [/mm] so natürlich nicht!

Sonst wäre ja [mm] $e^z [/mm] = [mm] \left(e^{2\pi i}\right)^{\bruch{z}{2\pi i}} [/mm] = [mm] 1^{\bruch{z}{2\pi i}} [/mm] =1$ für alle z.
Das ist offensichtlich Blödsinn.

Gruß,
Gono

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Potenzieren von kompl. Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Do 07.05.2015
Autor: fred97


> > Hallo,
>  >
>  > ich habe eine relativ einfache Frage.

>  >
>  > Nämlich wenn ich eine komplexe Zahl potenziere, darf

> ich
>  > dann die üblichen Potenzgesetze so verwenden wie im

>  > reellen?

>  >
>  > Wenn ich etwa den komplexen Ausdruck

>  >
>  > [mm]e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}[/mm] habe.

>  >
>  > Und ich Forme dann mittels Potenzgesetzen um so, dass

> ich
>  > die Eulersche Identität erhalte, so erhalte ich als

>  > Ergebnis stets die 1, denn

>  >
>  > [mm]e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}=\left(e^{\pi\cdot i}\right)^{\frac25}=\left(\left(e^{\pi\cdot i}\right)^2\right)^{\frac15}=((-1)^2)^{\frac{1}{5}}=1^{\frac15}=1[/mm]

>  
> Du hast vergessen das 'k' mitzuschleppen.



>  Die Potenzgesetze gelten natürlich weiterhin. Auch bei
> der Rechnung mit komplexen Zahlen.

Das stimmt nicht !

FRED

>  
> Valerie


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