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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich möchte euch fragen, ob ich die Aufgabe aus der Vorlesung Algebra (Genauigkeit ++) richtig gelöst habe:
[mm] \IQ [/mm] : Ganz normale Polynomdivision:
[mm] (X^{3}-2):(2X+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}
[/mm]
Rest [mm] -\bruch{17}{8}.
[/mm]
D.h. die gesuchte Polynome lauten
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}$
[/mm]
und
[mm] $\rho [/mm] = [mm] -\bruch{17}{8}$.
[/mm]
[mm] \IZ_{5} [/mm] :
[mm] $(X^{3}-2):(2X+1) [/mm] = [mm] 3X^{2}+X+2$
[/mm]
Rest: 1
D.h. die gesuchte Polynome lauten
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] 3X^{2}+X+2$
[/mm]
und
[mm] $\rho [/mm] = 1$.
[mm] \IZ_{7} [/mm] :
[mm] $(X^{3}-2):(2X+1) [/mm] = [mm] 4X^{2}+5X+1$
[/mm]
Rest: 4
D.h. die gesuchte Polynome lauten
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] 4X^{2}+5X+1$
[/mm]
und
[mm] $\rho [/mm] = 4$.
Ist irgendetwas spezielles zu beachten bzw. geht es wesentlich einfacher mit anderen Methoden?
Vielen Dank für Eure Mühe,
Stefan.
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Hallo Stefan,
komplett richtig gerechnet!
Eine einfachere Methode kenne ich leider nicht, aber Polynomdivision ist ja andererseits glücklicherweise nicht so mühsam.
Grüße,
reverend
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Zunächst danke, reverend, für deine Antwort  !
Ich habe jetzt Probleme beim Lösen der Aufgabe b) (s.o.)
Ich behandle zunächst den Fall [mm] \IQ. [/mm] Unter ggT von Polynomen stell ich mir im Moment entweder konstante Faktoren vor, die beide haben (so wie wenn jeder Koeffizient beider Polynome durch 3 teilbar wäre). In [mm] \IQ [/mm] ist das ja aber (vermutlich) eine Einheit, deswegen fallen diese Möglichkeiten raus. Oder ich stelle mir unter solch einem ggT einen Linearfaktor / "quadratischen Faktor" / etc. vor, den beide als Teiler haben.
Da eines der Polynome hier nur Grad 1 hat, gehe ich davon aus dass auch meine Lösung höchstens Grad 1 haben kann. Ich würde nun nach dem euklidischen Algorithmus vorgehen, dabei nehme ich die Polynomdivision aus a) als gegeben an:
Fall [mm] \IQ [/mm] :
[mm] $(X^{3}-2) [/mm] = [mm] \red{(2X+1)}*(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \blue{\left(-\bruch{17}{8}\right)}$
[/mm]
Der nächste Schritt wäre ja nun das rote durch das blaue Polynom darzustellen:
$(2X+1) = [mm] \left(-\bruch{17}{8}\right)*\left(-\bruch{16}{17}X - \bruch{8}{17}\right) [/mm] + 0$
Und weil jetzt 0 rauskommt, wäre [mm] \left(-\bruch{17}{8}\right) [/mm] nun ggT. Da das aber eine Einheit ist (?) kann ich auch sagen dass 1 der ggT der beiden Polynome ist.
Ich bin mir nun bei den obigen Darlegungen total unsicher, weil eben nur ggT = 1 rauskommt und mir das ganze irgendwie dubios erscheint... Kann mir jemand sagen, ob meine Gedankengänge richtig sind?
Nur um noch kurz die anderen beiden Lösungen zu überprüfen: In [mm] \IZ_{5} [/mm] komme ich auch auf ggT = 1, und bei [mm] \IZ_{7} [/mm] auf ggT = 4, weil das ja (vermutlich???) keine Einheit ist.
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan.
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nur um noch kurz die anderen beiden Lösungen zu überprüfen:
> In [mm]\IZ_{5}[/mm] komme ich auch auf ggT = 1, und bei [mm]\IZ_{7}[/mm] auf
> ggT = 4, weil das ja (vermutlich???) keine Einheit ist.
Doch, 4 ist eine Einheit. Der Rest scheint mir auch richtig. Die Aufgabe ist ein bisschen zu simpel, irgendwie ...
SEcki
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo und danke für deine Antwort!
> Doch, 4 ist eine Einheit. Der Rest scheint mir auch
> richtig. Die Aufgabe ist ein bisschen zu simpel, irgendwie
Ja klar, weil ja gilt:
$4|1 [mm] \gdw \exists s\in\IZ_{7}:1 [/mm] = s*4$ und hier ist s gerade 2. 
Ich bin mir auch ganz unsicher bei der Aufgabe, weil eben alles SO einfach ist...
Ich habe nun obige Aufgabe, d.h. jetzt muss ich praktisch den euklidischen Algorithmus "rückwärts" machen: Dazu nehme ich erstmal [mm] \IQ:
[/mm]
[mm] $(X^{3}-2) [/mm] = [mm] (2X+1)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right) [/mm] + [mm] \left(-\bruch{17}{8}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw (X^{3}-2) [/mm] - [mm] (2X+1)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right) [/mm] = [mm] \left(-\bruch{17}{8}\right)$
[/mm]
d.h. es ist [mm] $\mu [/mm] = 1$ und [mm] $\nu [/mm] = [mm] -\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right)$ [/mm] ?
Nun soll ich diese obige Gleichung noch modulo [mm] (X^{3}-2) [/mm] betrachten...
Was genau soll ich denn da jetzt tun???
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 20.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> d.h. es ist [mm]\mu = 1[/mm] und [mm]\nu = -\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right)[/mm]
> ?
Sollte man nicht [m]...=1[/m] erhalten? Dann würde ich nochmal mit einem entsprechenden Bruch multiplizieren.
> Nun soll ich diese obige Gleichung noch modulo [mm](X^{3}-2)[/mm]
> betrachten...
> Was genau soll ich denn da jetzt tun???
Ist dir der Raum klar? Ich glaube, man soll etwas über die Invertierbarkeit aussagen.
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
> > d.h. es ist [mm]\mu = 1[/mm] und [mm]\nu = -\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right)[/mm]
> > ?
>
> Sollte man nicht [m]...=1[/m]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
erhalten? Dann würde ich nochmal mit
> einem entsprechenden Bruch multiplizieren.
Also mit -\bruch{8}{17} ?:
$\gdw (X^{3}-2) - (2X+1)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right) = \left(-\bruch{17}{8}\right)$
$\gdw -\bruch{8}{17}*\left((X^{3}-2) - (2X+1)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right)\right) = 1\right)$
> > Nun soll ich diese obige Gleichung noch modulo [mm](X^{3}-2)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > betrachten...
> > Was genau soll ich denn da jetzt tun???
>
> Ist dir der Raum klar? Ich glaube, man soll etwas über die
> Invertierbarkeit aussagen.
Nun ja, der Raum... Es ist ja ein Faktorring, der Polynom bis zum 2. Grad enthält. Addition und Multiplikation erfolgen modulo X^{3}-2 Wegen
$X^{3}-2\equiv 0 \mod (X^{3}-2) \gdw X^{3}\equiv 2 \mod (X^{3}-2)$
kann man auch jedes höhergradige Polynom entsprechend auf den 2. Grad "runterbrechen". Aber was genau soll ich jetzt tun? Soll ich die Gleichung
$-\bruch{8}{17}*\left((X^{3}-2) - (2X+1)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}\right)\right) = 1\right)$
nehmen, und diese modulo X^{3}-2 betrachten? Welche Invertierbarkeit meinst du?
Könnte Ihr mir bitte nochmal helfen?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 25.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm](X^{3}-2):(2X+1)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}X^{2}-\bruch{1}{4}X+\bruch{1}{8}[/mm]
> Rest [mm]-\bruch{17}{8}.[/mm]
...
> [mm]\IZ_{5}[/mm] :
[m]\bruch{1}{2}=3 (mod 5)[/m].
Eigentlich musst du nichts mehr ausrechnen, denn die Potenzen von 2 sind auch in den anderen beiden Körper invertierbar. Also ist eigentlich für alle Körper das gleiche Polynom gültig ... wenn man es aber "schön" darstellen will, ist man wohl ungefähr gleich lang beschäftigt.
SEcki
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