Polynom - Separabel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 07.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Hi,
ich hätte eine kurze Frage zu Polynomen:
Sei K ein Körper und [mm] f(X)\in [/mm] K[X]. Und f sei separabel, d.h. f besitze keine mehrfachen Nullstellen.
1. Bedeutet das nun, dass f mindestens eine Nullstelle haben muss, die aber natürlich nicht mehrfach ist? Also muss grad f > 1 gelten oder kann auch f(X)=5 konstant sein? Denn 5 hat ja eigentlich auch keine mehrfachen Nullstellen.
2. Es gibt ja die Aussage: Falls f(X) irreduzibel ist, dann ist f(X) separabel über K genau dann, wenn f'(X) nicht das Nullpolynom ist.
zu 2: Sei f(X)=c mit [mm] c\in [/mm] K, also wieder konstantes Polynom. Dann ist f irreduzibel und separabel (weil keine mehrfachen Nullstellen), aber f'(X)=0. Also kann ich f(x)=konstant nicht wählen. Doch wieso?
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Di 07.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich hätte eine kurze Frage zu Polynomen:
> Sei K ein Körper und [mm]f(X)\in[/mm] K[X]. Und f sei separabel,
> d.h. f besitze keine mehrfachen Nullstellen.
>
> 1. Bedeutet das nun, dass f mindestens eine Nullstelle
> haben muss, die aber natürlich nicht mehrfach ist?
Nein, es muss gar keine Nullstelle haben ueber dem aktuellen Koerper. Nur ueber dem alg. Abschluss (bzw. dem Zerfaellungskoerper, der ist i.A. kleiner) muss es in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen.
> Also
> muss grad f > 1 gelten oder kann auch f(X)=5 konstant sein?
Ein konstantes Polynom ist auch separabel. Allerdings recht langweilig 
> Denn 5 hat ja eigentlich auch keine mehrfachen
> Nullstellen.
>
> 2. Es gibt ja die Aussage: Falls f(X) irreduzibel ist, dann
> ist f(X) separabel über K genau dann, wenn f'(X) nicht das
> Nullpolynom ist.
> zu 2: Sei f(X)=c mit [mm]c\in[/mm] K, also wieder konstantes
> Polynom. Dann ist f irreduzibel
Nein, konstante Polynome sind Einheiten (wenn sie nicht das Nullpolynom sind) und somit nicht irreduzibel.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 07.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Danke!
> Nein, es muss gar keine Nullstelle haben ueber dem
> aktuellen Koerper. Nur ueber dem alg. Abschluss (bzw. dem
> Zerfaellungskoerper, der ist i.A. kleiner) muss es in
> paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen.
In was für Linearfaktoren zerfällt denn f(x)=5 ? Und was ist mit [mm] g(x)=x^2-2 [/mm] bzw. [mm] h(x)=x^2+2. [/mm] Wenn [mm] K=\IR [/mm] ist, dann ist doch keines von denen separabel, denn haben keine Nullstellen, denn beide zerfallen über K nicht in Linearfaktoren, oder?
> Nein, konstante Polynome sind Einheiten (wenn sie nicht das
> Nullpolynom sind) und somit nicht irreduzibel.
Da würde ich spontan mal fragen: Was ist denn das Nullpolynom eigentlich? Ist es sperabel? Ist es irreduzibel?
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 08.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Thomas,
> > Nein, es muss gar keine Nullstelle haben ueber dem
> > aktuellen Koerper. Nur ueber dem alg. Abschluss (bzw. dem
> > Zerfaellungskoerper, der ist i.A. kleiner) muss es in
> > paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen.
>
> In was für Linearfaktoren zerfällt denn f(x)=5 ?
es zerfaellt in 0 Linearfaktoren, wie sich das fuer ein Polynom von Grad 0 gehoert.
> Und was
> ist mit [mm]g(x)=x^2-2[/mm] bzw. [mm]h(x)=x^2+2.[/mm] Wenn [mm]K=\IR[/mm] ist, dann
> ist doch keines von denen separabel, denn haben keine
> Nullstellen, denn beide zerfallen über K nicht in
> Linearfaktoren, oder?
$g(x) = (x - [mm] \sqrt{2}) [/mm] (x + [mm] \sqrt{2})$ [/mm] und $h(x) = (x - i [mm] \sqrt{2}) [/mm] (x + i [mm] \sqrt{2})$, [/mm] wobei die Faktorisierung von $g$ direkt ueber $K = [mm] \IR$ [/mm] geht und die von $h$ ueber dem Zerfaellungskoerper, der hier gleich dem alg. Abschluss von [mm] $\IR$ [/mm] ist, also in [mm] $\IC$.
[/mm]
> > Nein, konstante Polynome sind Einheiten (wenn sie nicht das
> > Nullpolynom sind) und somit nicht irreduzibel.
>
> Da würde ich spontan mal fragen: Was ist denn das
> Nullpolynom eigentlich? Ist es sperabel? Ist es
> irreduzibel?
Das Nullpolynom ist separabel, jedoch nicht irreduzibel.
Schau doch mal im Skript nach, was es bedeutet, dass ein Element in einem Integritaetsring irreduzibel ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:37 Mi 08.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Ok. Soweit hat mir das wirklich sehr geholfen. Vielen Dank!
Ich würde nur nochmal eine etwas andere Frage anschließen, wenn das ok wäre.
Es ist [mm] \IQ[\wurzel{3}]=\{a+b\wurzel{3}\mid a,b\in\IQ\}. [/mm] Nun wissen wir, dass [mm] \IQ[\wurzel{3},\wurzel{5}]=\IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}]. [/mm] Folgt dann nicht auch [mm] \IQ[\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel{7}]=\IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}+\wurzel{7}] [/mm] bzw. [mm] \IQ[\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel[3]{7}]=\IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}+\wurzel[3]{7}] [/mm] usw. ?
Sei [mm] \alpha\notin [/mm] K, aber [mm] \alpha\in [/mm] E einem Erweiterungskörper. Könnte man dann immer schreiben [mm] K[\alpha]=\{c+d\cdot\alpha \mid c,d\in K\} [/mm] ?
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Mi 08.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok. Soweit hat mir das wirklich sehr geholfen. Vielen
> Dank!
>
> Ich würde nur nochmal eine etwas andere Frage
> anschließen, wenn das ok wäre.
>
> Es ist [mm]\IQ[\wurzel{3}]=\{a+b\wurzel{3}\mid a,b\in\IQ\}.[/mm] Nun
> wissen wir, dass
> [mm]\IQ[\wurzel{3},\wurzel{5}]=\IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}].[/mm]
> Folgt dann nicht auch
> [mm]\IQ[\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel{7}]=\IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}+\wurzel{7}][/mm]
> bzw.
Nun, nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz vom primitiven Element. Wenn du dir dessen Beweis anschaust, siehst du, dass es mind. ein $x [mm] \in \IQ$ [/mm] gibt mit [mm] $\IQ[\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel{7}]=\IQ[\sqrtr{3} [/mm] + [mm] \sqrt{5}, \sqrt{7}] [/mm] = [mm] \IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}+x \wurzel{7}]$.
[/mm]
Ob du $x = 1$ waehen kannst, musst du ueberpruefen.
> [mm]\IQ[\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel[3]{7}]=\IQ[\wurzel{3}+\wurzel{5}+\wurzel[3]{7}][/mm]
> usw. ?
Hier ebenso.
> Sei [mm]\alpha\notin[/mm] K, aber [mm]\alpha\in[/mm] E einem
> Erweiterungskörper. Könnte man dann immer schreiben
> [mm]K[\alpha]=\{c+d\cdot\alpha \mid c,d\in K\}[/mm] ?
Das geht nur, wenn [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch ueber $K$ ist vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 08.12.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Ok. Vielen Dank.
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