Polygon in ein Parallelogramm < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mi 04.01.2012 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jedes konvexe Polygon der Fläche 1 in ein Parallelogramm der Fläche 2 gepackt werden kann. |
Hallo ihr,
leider fehlt mir die Idee wie man das zeigen könnte.
Ich habe mir überlegt, dass man den maximalen Abstand zweier Punkte im Polygon aus der Bedingung Fläche= 1 bestimmen könnte, um dann eine Seite oder eine Diagonale des Parallelogramms gleich dieser Länge zu setzen. Nur leider gibt es ja nicht wirklich eine einfache allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines beliebigen konvexen Polygons.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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> Zeigen Sie, dass jedes konvexe Polygon der Fläche 1 in ein
> Parallelogramm der Fläche 2 gepackt werden kann.
> Hallo ihr,
> leider fehlt mir die Idee wie man das zeigen könnte.
> Ich habe mir überlegt, dass man den maximalen Abstand
> zweier Punkte im Polygon aus der Bedingung Fläche= 1
> bestimmen könnte, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies geht bestimmt nicht, denn man kann konvexe Polynome
mit Flächeninhalt 1 und beliebig großer Ausdehnung in wenigstens
einer Richtung konstruieren, am einfachsten etwa ein Rechteck
der (beliebigen) Länge a>0 und der Breite b=1/a .
> um dann eine Seite oder eine Diagonale
> des Parallelogramms gleich dieser Länge zu setzen. Nur
> leider gibt es ja nicht wirklich eine einfache allgemeine
> Formel für den Flächeninhalt eines beliebigen konvexen
> Polygons.
Hallo simplify,
wenn ich das richtig verstehe, bedeutet dies, dass man
jedem beliebigen ebenen konvexen Vieleck P mit Flächen-
inhalt 1 ein Parallelogramm mit Flächeninhalt 2 (oder
allenfalls kleiner) umbeschreiben kann.
Ich denke, dass man so vorgehen kann: es muss ein
Paar (A,B) von Randpunkten des Polygons P geben,
so dass der Abstand [mm] |\overline{AB}| [/mm] maximal ist.
Dies kann man beweisen. Nun sei L dieser maximale
Abstand. Die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] ist dann im Allgemeinen
eine Diagonale oder eine Seite von P. Nun kann man
die Normalen a und b zu AB in den Punkten A und B
sowie diejenigen Parallelen p und q zu AB einzeichnen,
welche das Polygon beidseitig gerade noch knapp
(in einer Ecke oder entlang einer Kante) berühren.
Dann umrahmen diese 4 Geraden a,b,p,q ein Rechteck,
welches dem Polygon P umbeschrieben ist.
Zu zeigen bleibt noch, dass P dieses Rechteck zu
mindestens der Hälfte (dem Flächeninhalt nach)
ausfüllt.
Details sind natürlich noch genau zu klären.
LG Al-Chw.
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