Phasenverhalten fol. Aufgabe < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mo 11.04.2011 | | Autor: | DontCare |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für folgende Übertragungsfunktionen (welche sich nur im Zähler von einander unterscheiden) den Amplituden- und Frequenzgang!
[mm]G_a\left(s\right)=\left(\bruch{1+sT}{1+sT_1}\right)[/mm]
[mm]G_b\left(s\right)=\left(\bruch{1-sT}{1+sT_1}\right)[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Bestimmung des Amplitundengagngs ist mir klar. Das wäre
[mm]A_a\left(\omega\right)=A_b\left(\omega\right)=\wurzel{\bruch{1+\left(\omega T\right)^2}{1+\left(\omega T_1\right)^2}}[/mm]
Jedoch bei dem Phasengang habe ich Probleme!!!
Mein Lösung wäre folgendes:
[mm]\varphi_a(\omega)=arctan(\omega T)-arctan(\omega T_1)[/mm]
[mm]\varphi_b(\omega)=arctan(-\omega T)-arctan(\omega T_1)[/mm]
laut dem Buch Regelungtechnik 1 von Heinz Unbehauen sollte der Phasengang wie folgt aussehen (leider ohne Erklärung):
[mm]\varphi_a(\omega)=-arctan\bruch{\omega(T_1-T)}{1+\omega^2 T_1 T}[/mm]
[mm]\varphi_b(\omega)=-arctan\bruch{\omega(T_1+T)}{1-\omega^2 T_1 T}[/mm]
Könnte mir bitte jemand erklären wie der dazugehörige Phasengang her zu leiten ist.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Di 12.04.2011 | | Autor: | DontCare |
Habe bei dieser Frage etwas Grundlegendes zur Lösung überesehen. Denn wenn der Zähler Reell gemacht wird durch konjungiert komplexes erweitern kommt man auf folgendes:
[mm]G_a(j\omega)=\bruch{1+j\omega T}{1+j\omega T_1}*\bruch{1-j\omega T}{1-j\omega T}=\bruch{1+\omega^2 T^2}{(1+\omega^2 T*T_1)+j\omega(T_1-T)}[/mm]
Wenn jetzt folgendes angewendet wird:
[mm] \varphi(\omega)=\bruch{Im(\omega)}{Re(\omega)}[/mm]
ergibt das =>
[mm]\varphi_a(\omega)=-arctan(\bruch{\omega(T_1-T)}{1+\omega^2 T*T_1})[/mm]
Das gleiche für [mm]G_b(s)[/mm]
[mm]G_b(j\omega)=\bruch{1-j\omega T}{1+j\omega T_1}*\bruch{1+j\omega T}{1+j\omega T}=\bruch{1+\omega^2 T^2}{(1-\omega^2 T*T_1)+j\omega(T_1+T)}[/mm]
[mm]\varphi_b(\omega)=-arctan(\bruch{\omega(T_1+T)}{1-\omega^2 T*T_1})[/mm]
und somit ist dieses Beispiel genau wie im Buch Regelungstechnik 1 von _Unbehauen gelöst
Tut mir leid euch damit belästigt zu haben, hätte einfach gestern Abend nochmal ordentlich nachdenken sollen :P
(Frage) beantwortet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Di 12.04.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo DontCare,
das wichtigste hast Du ja schon selbst rausbekommen. Einen recht praktischen Tipp kann ich aber doch noch geben zur Phasenbestimmung einer gebrochen rationalen Funktion, deren Zähler und Nenner komplex ist.
Die Übertragungsfunktion sieht dann so aus:
[mm]G = \bruch{a+jb}{c+jd} [/mm]
Dann kann man den Arcustangens getrennt auf Zähler und Nenner loslassen und bekommt
[mm] \varphi = \arctan(\bruch{b}{a}) - \arctan (\bruch{d}{c}) [/mm]
Man muss also nicht konjugiert komplex erweitern.
Viele Grüße,
Infinit
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