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Forum "Transformationen" - Originalfunktion gesucht
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Originalfunktion gesucht: Anwendung d. Sätze
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Mi 07.01.2009
Autor: crashby

Aufgabe
$ [mm] F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2} [/mm] $

Bestimme die Orginalfkt durch Anwendung geeigneter Sätze über Laplace-Trafo

Hey,

nächstes Problem ;)

$ [mm] F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2}=e^{3s}\cdot \frac{s}{s^2+a^2} [/mm] $
wie gehts weiter ?

greetz

        
Bezug
Originalfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Mi 07.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> [mm]F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2}[/mm]
>  
> Bestimme die Orginalfkt durch Anwendung geeigneter Sätze
> über Laplace-Trafo
>  Hey,
>  
> nächstes Problem ;)
>  
> [mm]F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2}=e^{3s}\cdot \frac{s}{s^2+a^2}[/mm]
>  
> wie gehts weiter ?


Nach Faltungssatz gilt offenbar:

[mm]L^{-1}\left[e^{3s}*\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}\right]= L^{-1}\left[e^{3s}\right]*L^{-1}\left[\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}\right][/mm]

Das Problem ist jetzt wohl die Orginalfunktion zu [mm]e^{3s}[/mm] zu finden.

Verwende hier die bekannte Reihenentwickung der Exponentialfunktion.


>  
> greetz


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Originalfunktion gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mi 07.01.2009
Autor: crashby

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hey Mathepower,

danke erstmal

$ L^{-1}\left[e^{3s}\right] $ hier würde ich nun den Dämpfungssatz nehmen

aber was nehme ich hier:

$ L^{-1}\left[\bruch{s}{s^{2}+a^{2}} $ es wäre ja eigentlich mit einer  tabelle $ \cos(at) $ aber wie bekom ich das mit den verschiedenen Sätzen raus ?





Bezug
                        
Bezug
Originalfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Mi 07.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,



> Hey Mathepower,
>  
> danke erstmal
>  
> [mm]L^{-1}\left[e^{3s}\right][/mm] hier würde ich nun den
> Dämpfungssatz nehmen
>  
> aber was nehme ich hier:
>  
> [mm]L^{-1}\left[\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}[/mm] es wäre ja eigentlich
> mit einer  tabelle [mm]\cos(at)[/mm] aber wie bekom ich das mit den
> verschiedenen Sätzen raus ?
>  


Nun zerlege

[mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\bruch{A}{s-ia}+\bruch{B}{s+ia}}[/mm]

Dann kannst Du auch hier den Dämpfungssatz anwenden.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Originalfunktion gesucht: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Do 08.01.2009
Autor: crashby

Hey,


> [mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\bruch{A}{s-ia}+\bruch{B}{s+ia}}[/mm]
>  


mit PBZ:

$ [mm] \bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}$ [/mm]

Insagesamt haben wir dann erstmal:

$ [mm] F(s)=e^{3s}\cdot \left( \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}\right) [/mm] $

$ = [mm] \frac{3}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia} [/mm] $

bis hier ok ?

cya

Bezug
                                        
Bezug
Originalfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Do 08.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Hey,
>  
>
> > [mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\bruch{A}{s-ia}+\bruch{B}{s+ia}}[/mm]
>  >  
>
>
> mit PBZ:
>  
> [mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}[/mm]


Das muß hier so lauten:

[mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{\red{1}}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}\red{+}\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}[/mm]


>  
> Insagesamt haben wir dann erstmal:
>  
> [mm]F(s)=e^{3s}\cdot \left( \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}\right)[/mm]
>  
> [mm]= \frac{3}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia}[/mm]
>  
> bis hier ok ?
>  
> cya


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Originalfunktion gesucht: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Do 08.01.2009
Autor: crashby

Hey,

danke blödes [mm] i^2 [/mm] ;)

wie siehst du das immer so schnell,benutzt du ein CAS ?

cya



Bezug
                                                        
Bezug
Originalfunktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Do 08.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Hey,
>  
> danke blödes [mm]i^2[/mm] ;)
>
> wie siehst du das immer so schnell,benutzt du ein CAS ?


Ich hab diese PBZ auch mal durchgerechnet.


>  
> cya
>  
>


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Originalfunktion gesucht: Verschiebungssatz?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Do 08.01.2009
Autor: crashby

okay,

$ F(s)= [mm] \frac{1}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia} [/mm] $

[mm] $e^{3s}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+ia} \right) [/mm] $

Es gilt:

$ [mm] \frac{1}{s-ia}= L[e^{t(ai)}](s) [/mm] $ und [mm] $\frac{1}{s+ia}= L[e^{-t(ai)}](s) [/mm] $

im Tutorium hatten wir eine ähnlich Aufgabe und da haben wir den Verschiebungssatz genommen.

und dann wissen wir ja auch noch das :
$ [mm] L[e^{t*(bi)}] [/mm] = 1/(s-(bi)) = [mm] (s+ib)/(s^2+b^2) [/mm] , b reell, Re(s)>|Im b| $

$ L[cos(bt)]= [mm] s/(s^2+b^2) [/mm] $

$ L[sin(bt)]= [mm] b/(s^2+b^2) [/mm] $

mit dem Verschiebungssatz komme ich auf

$ [mm] F(s)=\frac{1}{2} L[u_3(t)\left( e^{ai(t-3)}+e^{-ia(t-3)}\right)](s) [/mm] $

da ich keine Tabelle nutzen soll würde ich das so stehen lassen?

Danke für die wunderbare Hilfe


Bezug
                                                                        
Bezug
Originalfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Do 08.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> okay,
>  
> [mm]F(s)= \frac{1}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia}[/mm]
>  
> [mm]e^{3s}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+ia} \right)[/mm]
>  
> Es gilt:
>
> [mm]\frac{1}{s-ia}= L[e^{t(ai)}](s)[/mm] und [mm]\frac{1}{s+ia}= L[e^{-t(ai)}](s)[/mm]
>  
> im Tutorium hatten wir eine ähnlich Aufgabe und da haben
> wir den Verschiebungssatz genommen.
>  
> und dann wissen wir ja auch noch das :
>   [mm]L[e^{t*(bi)}] = 1/(s-(bi)) = (s+ib)/(s^2+b^2) , b reell, Re(s)>|Im b|[/mm]
>  
> [mm]L[cos(bt)]= s/(s^2+b^2)[/mm]
>  
> [mm]L[sin(bt)]= b/(s^2+b^2)[/mm]
>  
> mit dem Verschiebungssatz komme ich auf
>  
> [mm]F(s)=\frac{1}{2} L[u_3(t)\left( e^{ai(t-3)}+e^{-ia(t-3)}\right)](s)[/mm]


Mit dem Verschiebungssatz kann ich im Moment nichts anfangen.


>  
> da ich keine Tabelle nutzen soll würde ich das so stehen
> lassen?


Jo, kannst Du.

Gesucht ist aber die Funktion im Zeitbereich,
deshalb kannst Du noch ein [mm]L^{-1}[/mm] auf beiden Seiten anwenden.


>  
> Danke für die wunderbare Hilfe
>  


Gruß
MathePower

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