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| Aufgabe | Sei 0> a [mm] \in \IR [/mm] und f : [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to \IR, [/mm]
f (t , x) := ax.
Betracht e das Anfangswertproblem
x'(t ) = f(t ,x(t)) , x(0) = [mm] 1\in \IR. [/mm] Sei x : [0,0] [mm] \to \IR [/mm] die exakte Lösung des Anfangswertproblems.
Sei [mm] X_i, [/mm] i = 0,1 , . . . die durch das Eulersche Polygonzugverfahren erzeugte
Folge mit Schrittweite h > 0.
a) Bestimme die Funktion x(t). (Ohne Beweis.)
Beweise oder widerlege:
b) Es gibt ein h > 0, so dass [mm] \lim_{i\to \infty} X_i [/mm] = [mm] \lim_{t\to \infty} [/mm] x(t) .
c) Für alle h >0 gilt : [mm] \lim_{i\to \infty} X_i [/mm] = [mm] \lim_{t\to \infty} [/mm] x(t) . |
Kann mir jemand erklären wie ich diese Aufgabe am besten löse?
Also Rechenweg mit Erklärung wäre ganz nett.
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> Sei 0> a [mm]\in \IR[/mm] und f : [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> f (t , x) := ax.
> Betracht e das Anfangswertproblem
> x'(t ) = f(t ,x(t)) , x(0) = [mm]1\in \IR.[/mm] Sei x : [0,0] [mm]\to \IR[/mm]
> die exakte Lösung des Anfangswertproblems.
> Sei [mm]X_i,[/mm] i = 0,1 , . . . die durch das Eulersche
> Polygonzugverfahren erzeugte
> Folge mit Schrittweite h > 0.
>
> a) Bestimme die Funktion x(t). (Ohne Beweis.)
> Beweise oder widerlege:
> b) Es gibt ein h > 0, so dass [mm]\lim_{i\to \infty} X_i[/mm] =
> [mm]\lim_{t\to \infty}[/mm] x(t) .
> c) Für alle h >0 gilt : [mm]\lim_{i\to \infty} X_i[/mm] =
> [mm]\lim_{t\to \infty}[/mm] x(t) .
> Kann mir jemand erklären wie ich diese Aufgabe am besten
> löse?
> Also Rechenweg mit Erklärung wäre ganz nett.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe Dein Post inzwischen in einen lserlichen Zustand versetzt, aber verwende doch bitte in Zukunft unseren Formeleditor, Eingabehilfen findest Du unter dem Eingabefenster, und ein Klick auf "Vorschau" ermöglicht Dir zwischendurch und vorm Abschicken eine Voransicht des Posts.
Lies Dir bitte auch einmal die Forenregeln durch, insbesondere erwarten wir von Dir eigene Löungsansätze bzw. konkrete Fragen zur Aufgabe.
zu a) Wenn f(t,x)=ax ist, was ist denn dann f(t,x(t))? Natürlich ist dann f(t,x(t))=ax(t).
Nun soll gelten x'(t)= f(t,x(t)), dh. x'(t)=ax(t). Welche Funktionen x(t) lösen desnn diese Gleichung? (Ggf. nachschlagen, besser: erinnern.)
Mit der Bedingung x(0)=1 hast Du x(t) dann eindeutig gefunden.
zu b) und c)
Hier steht und fällt alles mit dem Wissen darum, was [mm] X_i [/mm] ist. Vorher braucht man nichts u überlegen und vor allem nichts zu beweisen.
Im Aufgabentext steht ja , daß [mm] (X_i) [/mm]
> die durch das Eulersche
> Polygonzugverfahren erzeugte
> Folge mit Schrittweite h > 0
ist.
Schlage nun in Deinen Unterlagen nach, was damit für eine Folge gemeint ist. Danach kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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