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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 20.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich möchte die Niveaulinien der Funktion [mm] f(z)=e^{\bruch{1}{z}} [/mm] für |f(z)|=const. darstellen.
Mit Maple sieht man, dass es ich dabei um Kreise handelt, die durch den Ursprung gehen. Aber mir ist nicht klar, wie ich dass begründen kann.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
aus [mm] |e^{\bruch{1}{z}}|=const. \Rightarrow |e^{\bruch{x-iy}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}}|=e^{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}} [/mm] = const. =:a >0
Wenn man jetzt auf beiden Seiten dein Logarithm. anwendet, kommt man zu:
ln(a) = [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm]
Hieraus ist ersichtlich, dass für 0<a<1 die rechte Seite negativ und für a>0 die rechte Seite positiv wird.
[mm] \Rightarrow (\bruch{x}{ln(a)})^{2}=x^{2}+y^{2}
[/mm]
Dies sieht ja schon einer Kreisgleichung sehr ähnlich, doch ich weiß nicht, wie ich hieraus schließen kann, dass es sich um Kreise handelt, die durch den Ursprung gehen.
Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben!
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Sa 20.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo susi
> Hallo!
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> Ich möchte die Niveaulinien der Funktion
> [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z}}[/mm] für |f(z)|=const. darstellen.
> Mit Maple sieht man, dass es ich dabei um Kreise handelt,
> die durch den Ursprung gehen. Aber mir ist nicht klar, wie
> ich dass begründen kann.
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
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> aus [mm]|e^{\bruch{1}{z}}|=const. \Rightarrow |e^{\bruch{x-iy}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}}|=e^{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}}[/mm]
> = const. =:a >0
>
> Wenn man jetzt auf beiden Seiten dein Logarithm. anwendet,
> kommt man zu:
>
> ln(a) = [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
> Hieraus ist ersichtlich, dass für 0<a<1 die rechte Seite
> negativ und für a>0 die rechte Seite positiv wird.
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> [mm]\Rightarrow (\bruch{x}{ln(a)})^{2}=x^{2}+y^{2}[/mm]
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> Dies sieht ja schon einer Kreisgleichung sehr ähnlich, doch
> ich weiß nicht, wie ich hieraus schließen kann, dass es
> sich um Kreise handelt, die durch den Ursprung gehen.
Ganz einfach, (0,0) erfüllt die Gleichung! oder aus x=0 folgt y=0
Besser aber, um auch die Mittelpunkte der Kreise und Radien in Abh. von a zu sehen:
[mm](\bruch{x}{ln(a)})^{2}=x^{2}+y^{2}[/mm]
in "Mittelpunktsform " [mm] $(x-xm)^2+(y-ym)^2=r^2$
[/mm]
damit hast du für alle a>0 alles.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 22.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Vielen Dank für den Tipp. Ich hab jetzt rausbekommen, wieso es sich um Kreise handelt, indem ich auf die Kreisgleichung umgestellt habe.
Aber mir ist nicht klar, ob die Kreise wirklich den Punkt (0,0) durchlaufen, oder nicht. Eigentlich ist ja x=0 und y=0 nicht definiert.
Denn: [mm] e^{\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}} [/mm] ist ja für x=y=0 nicht definiert
Also sind es Kreise, die alle durch den Nullpunkt laufen, diesen aber NICHT wirklich annehmen, oder wird der Ursprung doch von jeden angenommen?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 22.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo susi
Du hast recht! Die Niveaulinien sind Kreise, die ihren Mittelpunkt auf der reellen Achse haben und die als Kreise durch den Nullpkt gehen, dieser gehört aber nicht zu den Niveaulinien. (die imaginäre Achse ,auchohne 0,0 gehört auch dazu!)
In deinem 1. post war noch ein Fehler, den du scheints behoben hast:
[mm] 1/z=(x-iy)/(x^2+y^2) [/mm] ohne Wurzel.
Deine Kreisgl. deshalb : [mm] (x^2+y^2)=x/lna a\ne [/mm] 1 a=1: x=0, y [mm] \ne0
[/mm]
Gruss leduart
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