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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Neutrales Element einer Potenz
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Neutrales Element einer Potenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:19 Mi 22.10.2014
Autor: Sykora

Aufgabe
Beweisen oder wiederlegen Sie, dass ein neutrales Element bezüglich [mm] n^{m} [/mm] existiert.

Falls ein neutrales Element existiert, haben alle Elemente aus ℕ ein inverses bezüglich [mm] n^{m} [/mm]

Meine frage ist, ob es ein neutrales Element zu nm gibt.
Falls dies gilt, soll man noch schauen, ob alle Elemente von ℕ ein Inverses bezüglich [mm] n^{m} [/mm] haben.
Leider verstehe ich nicht so richtig, wie man hier ein Inverses rausbekommt.

Meine Idee wäre, dass das neutrale Element = 1 ist, denn ℝ^{1} ist immer ℝ.


Stimmt das so? Und wie könnte man nun Beweisen, dass es stimmt?


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/164010/gibt-es-ein-neutrales-element-zu-n-m

        
Bezug
Neutrales Element einer Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Mi 22.10.2014
Autor: angela.h.b.


> Beweisen oder wiederlegen Sie, dass ein neutrales Element
> bezüglich [mm]n^{m}[/mm] existiert.

Hallo,

wir bräuchten erstmal die genaue Aufgabenstellung.
Ein neutrales Element ist ja immer bzgl. einer Verknüpfung.

Ich rate jetzt mal:

betrachtet werden die natürlichen Zahlen zusammen mit der Verknüpfung [mm] \oplus, [/mm] welche durch

[mm] n\oplus m:=n^m [/mm]

definiert ist, und Du sollst nun sagen, ob es bzgl dieser Verknüpfung ein neutrales Element gibt.
Richtig geraten?

Jetzt müßtest Du erstmal sagen, wie "neutrales Element" definiert ist. Was ist zu prüfen?


> Falls ein neutrales Element existiert, haben alle Elemente
> aus ℕ ein inverses

Nicht unbedingt. Ob jedes Element ein Inverses hat, weiß man erst, wenn man es geprüft hat.


>bezüglich [mm]n^{m}[/mm]

> Meine frage ist, ob es ein neutrales Element zu nm gibt.
> Falls dies gilt, soll man noch schauen, ob alle Elemente
> von ℕ ein Inverses bezüglich [mm]n^{m}[/mm] haben.
> Leider verstehe ich nicht so richtig, wie man hier ein
> Inverses rausbekommt.

>

> Meine Idee wäre, dass das neutrale Element = 1 ist, denn
> ℝ^{1} ist immer ℝ.

Was meinst Du damit?
Sollst Du nicht natürliche Zahlen betrachten?

Ich schlage folgendes vor:

Du reichst mal die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut nach, dazu die Def. für "neutrales Element", und dann machen wir weiter.

LG Angela


>
>

> Stimmt das so? Und wie könnte man nun Beweisen, dass es
> stimmt?

>
>

> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.gute-mathe-fragen.de/164010/gibt-es-ein-neutrales-element-zu-n-m


Bezug
                
Bezug
Neutrales Element einer Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mi 22.10.2014
Autor: Sykora

Oh, tut mir leid, war mir nicht bewusst ob so etwas relevant ist. Also hier die Aufgabenstellung:

Die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] auf [mm] \IN [/mm] sei durch n [mm] \circ [/mm] m := [mm] n^{m} [/mm] definiert. Beweisen Sie oder wiederlegen Sie durch ein Gegenbeispiel,

i. dass ein neutrales Element bezüglich [mm] \circ [/mm] existiert.
ii. dass alle Elemente von [mm] \IN [/mm] ein Inverses bezüglich [mm] \circ [/mm] haben, falls das neutrale Element existiert.



Zum neutralen Element hatten wir nur etwas am Beispiel der Addition und Muliplikation gelesen.
a+0=0+a=a und a*1=1*a=a

Mein Idee zum neutralen Element war also, dass man als Potenz immer die 1 nimmt, da die Basis (hier n) immer gleich bleiben würde.
So wäre 1 das neutrale Element.
Nur war ich nicht sicher, ob dies ausreicht oder ob man das "m" noch mit einbeziehen müsste (also z.B. [mm] (n^{m})^{1}) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Neutrales Element einer Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mi 22.10.2014
Autor: angela.h.b.


> Oh, tut mir leid, war mir nicht bewusst ob so etwas
> relevant ist.

Hallo,

ja, das dachte ich mir.

Du wirst sehen: in fast allen Aufgabenstellungen ist alles relevant, was dort geschrieben steht.


> Also hier die Aufgabenstellung:

>

> Die Verknüpfung [mm]\circ[/mm] auf [mm]\IN[/mm] sei durch n [mm]\circ[/mm] m := [mm]n^{m}[/mm]
> definiert. Beweisen Sie oder wiederlegen Sie durch ein
> Gegenbeispiel,

>

> i. dass ein neutrales Element bezüglich [mm]\circ[/mm] existiert.
> ii. dass alle Elemente von [mm]\IN[/mm] ein Inverses bezüglich
> [mm]\circ[/mm] haben, falls das neutrale Element existiert.

Aha, das klingt doch schon verständlicher.
>
>
>

> Zum neutralen Element hatten wir nur etwas am Beispiel der
> Addition und Muliplikation gelesen.
> a+0=0+a=a und a*1=1*a=a

>

> Mein Idee zum neutralen Element war also, dass man als
> Potenz immer die 1 nimmt, da die Basis (hier n) immer
> gleich bleiben würde.
> So wäre 1 das neutrale Element.

Die Idee ist als Grundlage für weitere Überlegungen gut.
In der Tat gilt für jedes [mm] n\in \IN, [/mm] daß

[mm] n\circ 1=n^1=n. [/mm]

> Nur war ich nicht sicher, ob dies ausreicht

Das oben ist schon gut, aber wenn die 1 das neutrale Element wäre, müßte auch für alle natürlichen Zahlen n gelten, daß

[mm] 1\circ [/mm] n=n.

(neutral von rechts und von links)

Ist das der Fall?

LG Angela




> oder ob man
> das "m" noch mit einbeziehen müsste (also z.B.
> [mm](n^{m})^{1})[/mm]


Bezug
                                
Bezug
Neutrales Element einer Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mi 22.10.2014
Autor: Sykora


>  
> Das oben ist schon gut, aber wenn die 1 das neutrale
> Element wäre, müßte auch für alle natürlichen Zahlen n
> gelten, daß
>  
> [mm]1\circ[/mm] n=n.
>  
> (neutral von rechts und von links)
>  
> Ist das der Fall?
>  

Nein, das würde nicht passen.
Gegenbeispiel:

[mm] 3^{1} [/mm] = 3
aber [mm] 1^{3}=1 [/mm]

Also können wir sagen n [mm] \circ [/mm] 1 [mm] \not= [/mm] 1 [mm] \circ [/mm] n

Somit schließen wir aus, dass 1 das neutrale Element ist.
Ich hätte mir noch gedacht, dass 0 ein neutrales Element sein könnte, aber wenn man eine Basis mit 0 potenzier (sagt man das so? "potenziert"?), kommt man immer auf 1.

So wäre auch die 0 kein neutrales Element.

Für den rest der zahlen kann man es ja ausschließen.

Wäre jetzt also durch das Gegenbeispiel bewiesen, dass es kein neutrales Element gibt?

Bezug
                                        
Bezug
Neutrales Element einer Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Mi 22.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> >  

> > Das oben ist schon gut, aber wenn die 1 das neutrale
> > Element wäre, müßte auch für alle natürlichen Zahlen n
> > gelten, daß
>  >  
> > [mm]1\circ[/mm] n=n.
>  >  
> > (neutral von rechts und von links)
>  >  
> > Ist das der Fall?
>  >  
>
> Nein, das würde nicht passen.
>  Gegenbeispiel:
>  
> [mm]3^{1}[/mm] = 3
>  aber [mm]1^{3}=1[/mm]
>  
> Also können wir sagen n [mm]\circ[/mm] 1 [mm]\not=[/mm] 1 [mm]\circ[/mm] n

das stimmt so auch nicht für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Aber für *fast* alle.)

> Somit schließen wir aus, dass 1 das neutrale Element ist.
>  Ich hätte mir noch gedacht, dass 0 ein neutrales Element
> sein könnte, aber wenn man eine Basis mit 0 potenzier
> (sagt man das so? "potenziert"?), kommt man immer auf 1.

Außerdem: Was wäre hier denn $0 [mm] \circ [/mm] n$?
  

> So wäre auch die 0 kein neutrales Element.
>  
> Für den rest der zahlen kann man es ja ausschließen.

Dafür hätte ich jetzt gerne einen Beweis: Angenommen, es gäbe ein neutrales
Element $e [mm] \in \IN$ [/mm] bzgl. [mm] $\circ\,,$ [/mm] d.h. es gilt

    $e [mm] \circ [/mm] n=n=n [mm] \circ [/mm] e$ für ALLE $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm]

Dann folgt

    [mm] $e^n=n=n^e$ [/mm]

für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Da letzteres ja FÜR ALLE $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, muss dies insbesondere
auch für $n=2 [mm] \in \IN$ [/mm] gelten, es muss also

    [mm] $e^2=2=2^e$ [/mm]

gelten.

Aufgaben an Dich: Begründe, dass aus $e [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $2^e=2$ [/mm] zwingend $e=1$
folgt. (Bitte NICHT den Logarithmus anwenden. Man kann durchaus mit
"Ordnungsstrukturen" argumentieren - oder Du rechnest etwa in [mm] $\IQ\,$...). [/mm]
Und oben hast Du schon gezeigt, dass [mm] $e=1\,$ [/mm] (der einzige Kandidat für *das*
neutrale Element) nicht neutrales Element sein kann - natürlich kannst Du
das hier auch durch Betrachten der Gleichung

    [mm] $e^2=2$ [/mm]

zeigen...  

> Wäre jetzt also durch das Gegenbeispiel bewiesen, dass es
> kein neutrales Element gibt?

Nein, sondern durch obigen Widerspruchsbeweis. Man nimmt an, dass es
ein solches [mm] $e\,$ [/mm] gibt. Dann folgt
  
     $e [mm] \in [/mm] $ einer "Kandidatenmenge",

d.h., wenn es ein solches [mm] $e\,$ [/mm] gibt, dann kommen nur die Elemente der
Kandidatenmenge in Frage. Oben habe ich direkt [mm] Kandidatenmenge=$\{1\}$ [/mm]
folgern können. Und nun zeigt man, dass jedes Element der Kandidatenmenge
(jeder "Kandidat") doch nicht die gewünschte Eigenschaft hat.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Neutrales Element einer Potenz: w I derlegen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Mi 22.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Oh, tut mir leid, war mir nicht bewusst ob so etwas
> relevant ist. Also hier die Aufgabenstellung:
>  
> Die Verknüpfung [mm]\circ[/mm] auf [mm]\IN[/mm] sei durch n [mm]\circ[/mm] m := [mm]n^{m}[/mm]
> definiert. Beweisen Sie oder wiederlegen Sie durch ein
> Gegenbeispiel,

kannst Du bitte drauf achten, dass widerlegen ohne e geschrieben
wird? Das tut mir jedes Mal in den Augen weh...

Wider=gegen, das hat nichts mit "wieder etwas tun" zu tun!

Gruß,
  Marcel

Bezug
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