www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Multidim. Normalverteilung
Multidim. Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Multidim. Normalverteilung: Unkorreliert, Unabhängig
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Do 28.09.2017
Autor: sandroid

Aufgabe
Seien $X, Y$ standardnormalverteilt und unabhängig. Eine zweidimensional normalverteilte Zufallsvariable [mm] $(\hat{X}, \hat{Y})$ [/mm] ist dann definiert als

$$ [mm] \begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}$$ [/mm]

wobei $$A := [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$$ [/mm]

Nun habe ich gelesen, dass [mm] $\hat{X}$ [/mm] und [mm] $\hat{Y}$ [/mm] unabhängig sind genau dann wenn sie unkorreliert sind. Analog sollte diese Aussage auch für höhere Dimensionen gelten, wobei dann paarweise Unkorreliertheit der Komponenten gefordert wird. Ich würde gerne wissen, wie man das beweist.

Ich habe leider die Befürchtung, etwas grundsätzlich falsch zu verstehen, denn wenn ich ansetze

[mm] $$\operatorname{Cov}(\hat{X}, \hat{Y}) [/mm] = [mm] \operatorname{E}(\hat{X} \hat{Y}) [/mm] - [mm] \operatorname{E}(\hat{X})\operatorname{E}(\hat{Y}) [/mm] = [mm] ac(\operatorname{E}(X^2) [/mm] - [mm] \operatorname{E}(X)^2)+bd(\operatorname{E}(Y^2) [/mm] - [mm] \operatorname{E}(Y)^2) [/mm] = 0$$

(Wobei die letzte Gleichheit gilt wegen [mm] $\operatorname{E}(X^2) [/mm] = 0 = [mm] \operatorname{E}(X)^2$ da$\operatorname{E}(X) [/mm] = 0$)

bekomme ich, dass [mm] $\hat{X}$ [/mm] und [mm] $\hat{Y}$ [/mm] immer unkorreliert sind, ganz unabhängig von der Matrix $A$. Wo liegt mein (Denk-) Fehler?

Im Vorraus bin ich für jede Hilfe sehr dankbar!

PS: Ich habe meine Frage auch hier gestellt, jedoch nach einiger Zeit (noch) keine Antwort erhalten:

https://math.stackexchange.com/questions/2448304/understanding-problem-pairwise-uncorrelated-iff-independent

        
Bezug
Multidim. Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Do 28.09.2017
Autor: donquijote


> Seien [mm]X, Y[/mm] standardnormalverteilt und unabhängig. Eine
> zweidimensional normalverteilte Zufallsvariable [mm](\hat{X}, \hat{Y})[/mm]
> ist dann definiert als
>  
> [mm]\begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y} \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> wobei [mm][/mm]A := [mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
>  Nun habe ich gelesen,
> dass [mm]\hat{X}[/mm] und [mm]\hat{Y}[/mm] unabhängig sind genau dann wenn
> sie unkorreliert sind. Analog sollte diese Aussage auch
> für höhere Dimensionen gelten, wobei dann paarweise
> Unkorreliertheit der Komponenten gefordert wird. Ich würde
> gerne wissen, wie man das beweist.
>  
> Ich habe leider die Befürchtung, etwas grundsätzlich
> falsch zu verstehen, denn wenn ich ansetze
>  
> [mm]\operatorname{Cov}(\hat{X}, \hat{Y}) = \operatorname{E}(\hat{X} \hat{Y}) - \operatorname{E}(\hat{X})\operatorname{E}(\hat{Y}) = ac(\operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}(X)^2)+bd(\operatorname{E}(Y^2) - \operatorname{E}(Y)^2) = 0[/mm]
>  
> (Wobei die letzte Gleichheit gilt wegen
> [mm]\operatorname{E}(X^2) = 0 = \operatorname{E}(X)^2[/mm]
> da[mm]\operatorname{E}(X) = 0[/mm])

Hallo,
[mm]E(X^2)[/mm] ist (wegen EX=0) gleich der Varianz von X und damit 1.

>  
> bekomme ich, dass [mm]\hat{X}[/mm] und [mm]\hat{Y}[/mm] immer unkorreliert
> sind, ganz unabhängig von der Matrix [mm]A[/mm]. Wo liegt mein
> (Denk-) Fehler?
>  
> Im Vorraus bin ich für jede Hilfe sehr dankbar!
>  
> PS: Ich habe meine Frage auch hier gestellt, jedoch nach
> einiger Zeit (noch) keine Antwort erhalten:
>  
> https://math.stackexchange.com/questions/2448304/understanding-problem-pairwise-uncorrelated-iff-independent


Bezug
                
Bezug
Multidim. Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Do 28.09.2017
Autor: sandroid

Ah sehr gut, vielen Dank!

Dann bekomme ich also im zweidimensionalen Fall [mm] $$\operatorname{Cov}(\hat{X}, \hat{Y}) [/mm] = ac+bd$$

Aus [mm] $\hat{X}, \hat{Y}$ [/mm] unkorreliert folgt alos $ac+bd = 0$. Wie man sich überlegt, ist dann die Kovarianzmatrix [mm] $AA^{T}$ [/mm] eine Diagonalmatrix. Dann findet man aber leicht eine Diagonalmatrix $B$ so dass [mm] $BB^{T} [/mm] = [mm] AA^{T}$. [/mm] Du nun die mehrdimensionale Normalverteilung zusammen mit der Kovarianzmatrix und dem Erwartungsvektor eindeutig bestimmt ist, gilt auch

$$ [mm] \begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] B\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}$$ [/mm]

Dann ist also [mm] $\hat{X} [/mm] = [mm] B_{1,1}X [/mm] + [mm] \mu_1$ [/mm] und [mm] $\hat{Y} [/mm] = [mm] B_{2,2}Y [/mm] + [mm] \mu_2$. [/mm]

Ist das so weit korrekt? Wie würde man jetzt am geschicktesten argumentieren, dass [mm] $\hat{X}$ [/mm] und [mm] $\hat{Y}$ [/mm] unabhängig sind?

Ich werde bei Gelegenheit mal versuchen, das auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern.


Bezug
                        
Bezug
Multidim. Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Do 28.09.2017
Autor: donquijote


> Ah sehr gut, vielen Dank!
>  
> Dann bekomme ich also im zweidimensionalen Fall
> [mm]\operatorname{Cov}(\hat{X}, \hat{Y}) = ac+bd[/mm]
>  
> Aus [mm]\hat{X}, \hat{Y}[/mm] unkorreliert folgt alos [mm]ac+bd = 0[/mm]. Wie
> man sich überlegt, ist dann die Kovarianzmatrix [mm]AA^{T}[/mm]
> eine Diagonalmatrix. Dann findet man aber leicht eine
> Diagonalmatrix [mm]B[/mm] so dass [mm]BB^{T} = AA^{T}[/mm]. Du nun die
> mehrdimensionale Normalverteilung zusammen mit der
> Kovarianzmatrix und dem Erwartungsvektor eindeutig bestimmt
> ist, gilt auch
>  
> [mm]\begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y} \end{pmatrix} = B\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Dann ist also [mm]\hat{X} = B_{1,1}X + \mu_1[/mm] und [mm]\hat{Y} = B_{2,2}Y + \mu_2[/mm].

Hallo nochmal,
die Argumentation scheint mit korrekt.

>  
> Ist das so weit korrekt? Wie würde man jetzt am
> geschicktesten argumentieren, dass [mm]\hat{X}[/mm] und [mm]\hat{Y}[/mm]
> unabhängig sind?
>  

Sind X und Y unabhängig, so auch f(X) und g(Y) für beliebige Funktionen f und g. Das lässt sich mit Hilfe der Definition der Unabhängigkeit leicht einsehen.

> Ich werde bei Gelegenheit mal versuchen, das auf höhere
> Dimensionen zu verallgemeinern.
>  


Bezug
        
Bezug
Multidim. Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 28.09.2017
Autor: luis52

Moin, so richtig verstehe ich deine Argumentation nicht. Zunaechst: Dass aus der Unabhaengigkeit die Unkorreliertheit folgt, duerfte klar sein. Fuer die andere Richtung solltest du dir mal die gemeinsame Dichte $f(x,y)$ von   $ [mm] \begin{pmatrix}\hat{X} \\ \hat{Y} \end{pmatrix}$ [/mm] anschauen. Gelingt eine Darstellung der Form [mm] $f(x,y)=g(x)\cdot [/mm] h(y)$, wobei $g(x)$ bzw. $h(y)$ nur von $x_$ bzw. $y_$ abhaengt, so folgt die Unabhaengigkeit.

Bezug
                
Bezug
Multidim. Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:58 Sa 30.09.2017
Autor: sandroid

Vielen Dank! Ich habe jetzt die Normalverteilung besser verstanden.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de