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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Metrik, Total beschränkt
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Metrik, Total beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Di 19.02.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Warum ist ein metrischer Raum total beschränkt?

Total beschränkt:
X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche Menge [mm] \{x_1 ,.,, x_n \} \subset [/mm] X existiert mit X = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j) [/mm]

Die Frage tauchte beim lernen auf...
LG

        
Bezug
Metrik, Total beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:17 Mi 20.02.2013
Autor: fred97


> Warum ist ein metrischer Raum total beschränkt?
>  
> Total beschränkt:
>  X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche
> Menge [mm]\{x_1 ,.,, x_n \} \subset[/mm] X existiert mit X =
> [mm]\bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j)[/mm]
>  Die Frage tauchte beim lernen

I.a. ist ein metr. Raum nicht totalbeschränkt !

Bsp.: [mm] \IR [/mm] mit d(x,y)=|x-y|

FRED

> auf...
>  LG


Bezug
                
Bezug
Metrik, Total beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Mo 25.02.2013
Autor: theresetom

Du meinst weil [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist oder wie?

LG

Bezug
                        
Bezug
Metrik, Total beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Mo 25.02.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Du meinst weil [mm]\IR[/mm] überabzählbar ist oder wie?

nö, auch [mm] \IQ^n [/mm] mit der selben Metrik ist nicht total beschränkt und das ist bekanntlich abzählbar.

MFG,
Gono.


Bezug
                                
Bezug
Metrik, Total beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Mo 25.02.2013
Autor: theresetom

Hallo
Jedoch verstehe ich dass das Gegenbeispiel nicht. Kannst du mir das vlt. erklären??
Danke.

Bezug
                                        
Bezug
Metrik, Total beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mo 25.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

angenommen [mm] $\IR$ [/mm] wäre total beschränkt, dann gäbe es $r > 0$ und Punkte [mm] $x_1,...,x_n \in \IR$ [/mm] sodass [mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}B_r(x_i)$. [/mm]

Wir wissen wie [mm] $B_r(x_i)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] aussieht (mit der normalen Metrik des Betrags): [mm] $B_r(x_i) [/mm] = [mm] (x_i [/mm] - r, [mm] x_i [/mm] + r)$.

Damit wäre also

[mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}B_r(x_i) [/mm] = [mm] (x_1 -r,x_1 [/mm] + r) [mm] \cup [/mm] ... [mm] \cup (x_n [/mm] - r, [mm] x_n [/mm] + r)$.

Das ist nicht möglich, weil [mm] $\IR$ [/mm] unbeschränkt ist und sich nicht als Vereinigung von endlichen vielen "endlich langen" Intervallen darstellen lässt.

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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