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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Mehrdim. Ableitung& Verkettung
Mehrdim. Ableitung& Verkettung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Mehrdim. Ableitung& Verkettung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 So 21.06.2009
Autor: GreatBritain

Aufgabe
Es sei [mm] $f:=\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] zweimal differenzierbar. Es sei $g$ gegeben durch $(r, [mm] \theta, [/mm] h) [mm] \rightarrow (rcos(\theta), rsin(\theta), [/mm] h)$, für $r>0, [mm] \theta \in [/mm] [0, [mm] 2\pi), [/mm] h [mm] \in \mathbb{R}.$ [/mm] Das ist der Koordinatenwechsel. Es sei [mm] $\tilde [/mm] f := f [mm] \circ [/mm] g$, i.e. die Funktion $f$ in zylindrischen Koordinaten.

a) Zeigen Sie, dass gilt:
$$ [mm] D\tilde [/mm] f(r, [mm] \theta, [/mm] h) = Df(x, y, z) [mm] \circ [/mm] Dg(r, [mm] \theta, [/mm] h) $$
wobei $x = [mm] rcos(\theta), [/mm] y= [mm] rsin(\theta), [/mm] z = h$

hi
ich verstehe diese aufgabe einfach nicht... gut, ich soll zeigen, dass die Ableitung von [mm] $\tilde [/mm] f$ mit der Verkettung der Ableitungen von $f$ und $g$ übereinstimmt. aber ich krieg für mich nicht einmal raus, wie diese Verkettung $f [mm] \circ [/mm] g$ hier aussehen soll, da ich ja völlig unterschiedliche variablen habe. zudem habe ich für $f$ ja nichtmal eine zuordnungsvorschrift gegeben... [keineahnung]

wäre für einen tipp zu dieser aufgabe SEHR dankbar

Gruß, GB

        
Bezug
Mehrdim. Ableitung& Verkettung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 21.06.2009
Autor: GreatBritain

ok, mal kurze zwischenfrage: ist das hier richtig?

$$ [mm] \tilde [/mm] f (r, [mm] \theta, [/mm] h) = f [mm] \circ [/mm] g = f(x(r, [mm] \theta, [/mm] h), y(r, [mm] \theta, [/mm] h), z(r, [mm] \theta, [/mm] h))$$

Bezug
                
Bezug
Mehrdim. Ableitung& Verkettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 21.06.2009
Autor: MathePower

Hallo GreatBritain,

> ok, mal kurze zwischenfrage: ist das hier richtig?
>  
> [mm]\tilde f (r, \theta, h) = f \circ g = f(x(r, \theta, h), y(r, \theta, h), z(r, \theta, h))[/mm]


Ja.


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Mehrdim. Ableitung& Verkettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 So 21.06.2009
Autor: MathePower

Hallo GreatBritain,

> Es sei [mm]f:=\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/mm] zweimal
> differenzierbar. Es sei [mm]g[/mm] gegeben durch [mm](r, \theta, h) \rightarrow (rcos(\theta), rsin(\theta), h)[/mm],
> für [mm]r>0, \theta \in [0, 2\pi), h \in \mathbb{R}.[/mm] Das ist
> der Koordinatenwechsel. Es sei [mm]\tilde f := f \circ g[/mm], i.e.
> die Funktion [mm]f[/mm] in zylindrischen Koordinaten.
>  
> a) Zeigen Sie, dass gilt:
>  [mm]D\tilde f(r, \theta, h) = Df(x, y, z) \circ Dg(r, \theta, h)[/mm]
>  
> wobei [mm]x = rcos(\theta), y= rsin(\theta), z = h[/mm]
>  hi
>  ich verstehe diese aufgabe einfach nicht... gut, ich soll
> zeigen, dass die Ableitung von [mm]\tilde f[/mm] mit der Verkettung
> der Ableitungen von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] übereinstimmt. aber ich krieg
> für mich nicht einmal raus, wie diese Verkettung [mm]f \circ g[/mm]
> hier aussehen soll, da ich ja völlig unterschiedliche
> variablen habe. zudem habe ich für [mm]f[/mm] ja nichtmal eine
> zuordnungsvorschrift gegeben... [keineahnung]
>  
> wäre für einen tipp zu dieser aufgabe SEHR dankbar


Betrachte hier

[mm]\tilde{f}\left(r,\theta,h\right)=f\left( \ x\left(r,\theta,h\right), \ y\left(r,\theta,h\right), \ z\left(r,\theta,h\right) \ \right)[/mm]

und differenziere  nach [mm]r, \theta, h[/mm].


>
> Gruß, GB


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Mehrdim. Ableitung& Verkettung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mo 22.06.2009
Autor: GreatBritain


> Betrachte hier
>  
> [mm]\tilde{f}\left(r,\theta,h\right)=f\left( \ x\left(r,\theta,h\right), \ y\left(r,\theta,h\right), \ z\left(r,\theta,h\right) \ \right)[/mm]
>  
> und differenziere  nach [mm]r, \theta, h[/mm].
>  
>
> Gruß
>  MathePower


ok, so ganz geblickt hab ich das jetzt immer noch nicht. gehe ich richtig davon aus, dass meine ableitung eine 3x3 matrix ergibt?

hier mal meine erste zeile der matrix, für x, y, z habe ich die angegeben polarkoordinaten eingesetzt.

[mm] $$\pmat{\frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial r} & \frac{\partial f(rcos\theta(r,\theta, h))}{\partial \theta} & \frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial h}}$$ [/mm]

in der zweiten Zeile stünde im Zähler jeweils [mm] $\partial f(rsin\theta(r, \theta, [/mm] h))$, in der dritten [mm] $\partial [/mm] f(h(r, [mm] \theta, [/mm] h))$

ist das soweit überhaupt korrekt? wie ich hier ableite weiß ich allerdings nicht...

Bezug
                        
Bezug
Mehrdim. Ableitung& Verkettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Mo 22.06.2009
Autor: MathePower

Hallo GreatBritain,


> > Betrachte hier
>  >  
> > [mm]\tilde{f}\left(r,\theta,h\right)=f\left( \ x\left(r,\theta,h\right), \ y\left(r,\theta,h\right), \ z\left(r,\theta,h\right) \ \right)[/mm]
>  
> >  

> > und differenziere  nach [mm]r, \theta, h[/mm].
>  >  
> >
> > Gruß
>  >  MathePower
>  
>
> ok, so ganz geblickt hab ich das jetzt immer noch nicht.
> gehe ich richtig davon aus, dass meine ableitung eine 3x3
> matrix ergibt?


Die Ableitung nach den Koordinaten [mm]r,\theta,h[/mm] auf jeden Fall.


>  
> hier mal meine erste zeile der matrix, für x, y, z habe ich
> die angegeben polarkoordinaten eingesetzt.
>  
> [mm]\pmat{\frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial r} & \frac{\partial f(rcos\theta(r,\theta, h))}{\partial \theta} & \frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial h}}[/mm]
>  
> in der zweiten Zeile stünde im Zähler jeweils [mm]\partial f(rsin\theta(r, \theta, h))[/mm],
> in der dritten [mm]\partial f(h(r, \theta, h))[/mm]
>  
> ist das soweit überhaupt korrekt? wie ich hier ableite weiß
> ich allerdings nicht...


Auf der rechten Seite wird nach der
[]verallgemeinerten Kettenregel differenziert.

Zum Beispiel ergibt die Ableitung nach r:


[mm]\tilde{f}_{r}=f_{x}*x_{r}+f_{y}*y_{r}+f_{z}*z_{r}[/mm]

bzw.

[mm]\bruch{\partial \tilde{f}}{\partial r}=\bruch{\partial f}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial r}+\bruch{\partial f}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial r}+\bruch{\partial f}{\partial z}*\bruch{\partial z}{\partial r}[/mm]


Für [mm]\theta, h[/mm] entsprechend.


Gruß
MathePower

Bezug
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