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Forum "Lineare Abbildungen" - Matrizen Linear Abbilden
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Matrizen Linear Abbilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Sa 29.11.2008
Autor: Dan86

Aufgabe
Gegeben sei folgende Matrix:

[mm] \pmat{a_{00} & a_{01} & ... & a_{0m-1} \\ a_{10} & a_{11} & ... & a_{1m-1} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{(n-1)0} & a_{(n-1)1} & ... & a_{n-1m-1}} [/mm]

Für die Repräsentation der Matrizen im Speicher werden diese Felder linearisiert und die Datenwerte hintereinander im Speicher abgelegt: [mm] a_{00} a_{01} [/mm] … [mm] a_{0m-1} a_{10} [/mm] … [mm] a_{1m-1} …a_{(n-1)0}…a_{n-1m-1}. [/mm]

a)
Geben Sie eine Funktion f(i,j) an mit i∈{0,…,n-1}, j∈{0,…,m-1}, die ein Wertepaar (i,j) auf den entsprechenden Wert aus der Menge {0,…,n*m-1} stellvertretend für den linearen Speicher abbildet.
b)
Geben Sie eine Funktion f(i1,…,ik) an, mit der ein k-dimensionales Feld linearisiert dargestellt werden kann.

Hallo,
Ich bin grade dabei ein bischen Matrixenabbildung nachzuarbeiten. Jetzt weiß ich eigentlich gar nicht mehr, wie man das macht.

Also die Lösung zu a) ist angeblich:
f(i,j) = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\summe_{i=0}^{m-1}a_{ji}a_iw_j [/mm]

Kann mir jemand evtl. erklären wie man hier vorgeht, und was die Funktion f(i,j) hier genau macht?

        
Bezug
Matrizen Linear Abbilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Sa 29.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Gegeben sei folgende Matrix:
>  
> [mm]\pmat{a_{00} & a_{01} & ... & a_{0m-1} \\ a_{10} & a_{11} & ... & a_{1m-1} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{(n-1)0} & a_{(n-1)1} & ... & a_{n-1m-1}}[/mm]
>  
> Für die Repräsentation der Matrizen im Speicher werden
> diese Felder linearisiert und die Datenwerte hintereinander
> im Speicher abgelegt: [mm]a_{00} a_{01}[/mm] … [mm]a_{0m-1} a_{10}[/mm] …
> [mm]a_{1m-1} …a_{(n-1)0}…a_{n-1m-1}.[/mm]
>  
> a)
>  Geben Sie eine Funktion f(i,j) an mit i∈{0,…,n-1},
> j∈{0,…,m-1}, die ein Wertepaar (i,j) auf den
> entsprechenden Wert aus der Menge {0,…,n*m-1}
> stellvertretend für den linearen Speicher abbildet.
>  b)
> Geben Sie eine Funktion f(i1,…,ik) an, mit der ein
> k-dimensionales Feld linearisiert dargestellt werden kann.
>  
> Hallo,
>  Ich bin grade dabei ein bischen Matrixenabbildung
> nachzuarbeiten. Jetzt weiß ich eigentlich gar nicht mehr,
> wie man das macht.
>
> Also die Lösung zu a) ist angeblich:
>  f(i,j) = [mm]\summe_{i=0}^{n-1}\summe_{i=0}^{m-1}a_{ji}a_iw_j[/mm]     [kopfschuettel]

          ???
  

> Kann mir jemand evtl. erklären wie man hier vorgeht, und
> was die Funktion f(i,j) hier genau macht?


Hallo Daniel,

es geht hier gar nicht um "Matrizenabbildungen",
sondern nur um eine neue Nummerierung der
Elemente einer Matrix.

Aus der $\ [mm] n\times{m}$ [/mm] - Matrix $\ A$ wird eine $\ [mm] 1\times{(m*n)}$ [/mm] - Matrix,
also ein Zeilenvektor $\ Z$ gemacht.

$\ f(i,j)$ soll angeben, an der wievielten Stelle
(von null an gezählt) des Zeilenvektors $\ Z$
das Matrixelement $\ [mm] a_{i,j}$ [/mm] landet.

Das geht ganz einfach:    $\ f(i,j)=m*i+j$

Damit wäre dann   $\ [mm] a_{i,j}=z_{m*i+j}$ [/mm]

Um dir das klar zu machen, machst du am
besten ein Beispiel etwa für eine $\ [mm] 3\times{4}$ [/mm] - Matrix.

Für ein dreidimensionales "Feld" (Matrix)
z.B. mit den Dimensionen  [mm] 3\times{6}\times{4} [/mm] ginge dies
analog  so:

       $\ f(i,j,k)=6*4*i+4*j+k$

Für Aufgabe b müsstest du nun diese Idee in
eine allgemeine Formel für eine k-dimensionale
Matrix der Dimension [mm] d_1\times d_2\times d_3\times [/mm] ..... [mm] \times d_k [/mm]
und Indices [mm] i_1, i_2, [/mm] ..... , [mm] i_k [/mm] (mit [mm] i_p\in\{0,1,2, ..... , d_p-1\} [/mm] )packen.


LG


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