www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Numerik" - Matrix und Eigenwerte
Matrix und Eigenwerte < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrix und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Do 11.04.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
Nummer 1:
Sei A ∈ R^(3,3) mit charakteristischem Polynom χA(λ) = det(A−λI) = λ^3 −λ, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.
a) Geben Sie den Rang der Matrizen A, [mm] A^2, A^2 [/mm] + I und [mm] A^2 [/mm] −I an.
b) Bestimmen Sie alle r, s, t∈ R mit rI + sA + [mm] tA^2 [/mm] = 0.
c) Zeigen Sie, dass [mm] A^{404} [/mm] = [mm] A^{1988} [/mm] = [mm] A^2 [/mm] ist.
d) Geben Sie eine solche reelle Matrix A an.

Nummer 2:
Von einer Matrix A ∈ R^(5,5) sei bekannt, dass λ = 1−i ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 ist und dass für die Determinante det(A) = 4 gilt. Bestimmen Sie die restlichen Eigenwerte sowie die Spur von A.


Hallo Forum,

bei den beiden Aufgaben oben komme ich nicht richtig weiter. Da bei Nummer eins keine konkrete Matrix gegeben ist, weiß ich nicht wie ich konkret den Rang beziehungsweise die quadrierte Matrix angeben soll, vielleicht wisst ihr einen Tipp.
Bei der anderen Aufgabe wäre vielleicht ein erster Ansatz hilfreich?!

Danke

        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Do 11.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Sei A ∈ R^(3,3) mit charakteristischem Polynom χA(λ) =
> det(A−λI) = λ^3 −λ, wobei I die Einheitsmatrix
> bezeichnet.

Mal ein paar Aufgaben / zielfuehrende Fragen:

1.) Bestimme alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
2.) Wie kannst du das Polynom dann schreiben?
3.) Was sagt dir das bezueglich der Diagonalisierbarkeit?

4.) Sei nun D die Diagonalmatrix zu A, wie sieht D dann aus und welcher Zusammenhang besteht dann zwischen D und A?

5.) Was folgt dann fuer [mm] $A^2$? [/mm]

>  Von einer Matrix A ∈ R^(5,5) sei bekannt, dass λ =
> 1−i ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 ist
> und dass für die Determinante det(A) = 4 gilt. Bestimmen
> Sie die restlichen Eigenwerte sowie die Spur von A.

>  Bei der anderen Aufgabe wäre vielleicht ein erster Ansatz
> hilfreich?!

1.) Wie viele Nullstellen hat das charakteristische Polynom, wenn du Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten zaehlst?
2.) Welcher Art (komplex / reell) muessen die restlichen Eigenwerte sein? (Es gibt zwei Moegliche Kombinationen)
3.) Wie berechnet sich die Determinante aus den Eigenwerten? (daraus reduzieren sich die Moeglichkeiten von 2.) auf eine)
4.) Die EW kannst du dann ueber die Gleichung aus 3.) bestimmen.

Gruss,
Gono

Bezug
                
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Do 11.04.2019
Autor: Tobikall

Vielen Dank @Gonozal_IX für deine Antwort.

zu 1.
die Nullstellen vom cha. Polynom liegen ja bei 0,-1 und 1. Das polynom ist somit äquivalent zu λ^3-λ=λ(λ^2-1). Die Matrix ist also diagonalisierbar, da das ch. Polynom in Linearfaktoren mit je Vielfachheit 1 zerfällt. Die Diagonalmatrix hat dann die Einträge [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& 0& 1} [/mm]
Dann gilt damit [mm] D=T^{-1}AT [/mm]

Jetzt stehe ich aber immer noch auf dem Schlauch was daraus für [mm] A^2 [/mm] und so weiter folgt....?

zu 2.
Der gegebene Eigenwert hat ja die Vielfachheit zwei, und zählt somit als 2 Nullstellen?! Müssen dann die restlichen Eigenwerte auch komplex sein, aber wie viele gibt es dann noch?
Man müsste dann die Determinante aus den Produkten der Einzelwerte berechnen können, da man diese ja in eine Diagonalmatrix einbauen kann.

Bezug
                        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Di 16.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sorry, war uebers WE nicht zu Hause:

> die Nullstellen vom cha. Polynom liegen ja bei 0,-1 und 1.

[ok]

> Die Matrix ist also diagonalisierbar, da das ch. Polynom in
> Linearfaktoren mit je Vielfachheit 1 zerfällt. Die
> Diagonalmatrix hat dann die Einträge [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& 0& 1}[/mm]

[ok]
Und der Rang der Diagonalmatrix ist gleich dem Rang der Matrix!
  

> Dann gilt damit [mm]D=T^{-1}AT[/mm]

[ok]
Und analog [mm]TDT^{-1}=A[/mm]
Berechne damit mal [mm] $A^2$ [/mm] und die restlichen Matrizzen

> zu 2.
>  Der gegebene Eigenwert hat ja die Vielfachheit zwei, und
> zählt somit als 2 Nullstellen?! Müssen dann die
> restlichen Eigenwerte auch komplex sein, aber wie viele
> gibt es dann noch?
>  Man müsste dann die Determinante aus den Produkten der
> Einzelwerte berechnen können, da man diese ja in eine
> Diagonalmatrix einbauen kann.

Das hast du mit Fred ja schon erarbeitet.... ich wollte dich zwar noch erkennen lassen, dass der konjugiert Komplexe Wert auch vorkommen muss, aber so ging es auch.

Gruss,
Gono

Bezug
        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Fr 12.04.2019
Autor: fred97

Zu 1): sei $p( [mm] \lambda)=\lambda^3 -\lambda [/mm] = [mm] \lambda( \lambda^2 [/mm] -1)= [mm] \lambda [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] -1)( [mm] \lambda [/mm] +1)$ das char. Polynom von A.

Die Eigenwerte von A sind damit klar.

Mit Cayley - Hamilton folgt:

[mm] $0=p(A)=A^3-A=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)$. [/mm] also

[mm] $\IR^3= [/mm] ker(A) [mm] \oplus ker(A^2-I)= [/mm] ker(A) [mm] \oplus [/mm] ker(A-I) [mm] \oplus [/mm] ker(A+I).$

Hieraus sieht man: [mm] $\dim [/mm] ker(A)=1.$ Mit dem Rangsatz folgt rang(A)=2.

Zeige nun Du: [mm] rang(A^2-I)=1. [/mm]

Weiter solltest Du sehen, dass [mm] A^2+I [/mm] invertierbar ist.

Nun sei x [mm] \in ker(A^2), [/mm] also $A^2x=0$. Aus [mm] A^3=A [/mm] folgt $Ax=A(A^2x)=0,$ also x [mm] \in [/mm] ker(A). Damit haben wir [mm] ker(A)=ker(A^2). [/mm] Mit dem Rangsatz folgt [mm] rang(A^2)=2. [/mm]

Bist Du nun in der Lage b),c) und d) selbst zu schaffen ?

Zu 2): Da A reell ist und 1-i  ein Eigenwert mit alg. Vielfachheit 2 ist, ist auch 1+i= [mm] \overline{1-i} [/mm]  ein Eigenwert mit alg. Vielfachheit 2. Da 5 ungerade ist hat A noch einen reellen Eigenwert , nennen wir ihn r.


Das Produkt der Eigenwerte = det(A), also

[mm] (1-i)^2(1+i)^2r=4. [/mm]

Bestimme daraus r.

Die Summe der Eigenwerte liefert die spur(A), also

spur (A)=1-i+1-i+1+i+1+i+r=4+r= ?



Bezug
                
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:09 Fr 12.04.2019
Autor: Tobikall

zu1.
Leider hatten wir in der Vorlesung, da es noch sehr früh imSemester ist, Cayley-Hamilton noch gar nicht...
Gibt es daher keinen einfacheren Weg, um die Ränge der Matrizen zu berechnen, oder ist dies der einzige sinnvolle Weg?
Daran hängt es bei mir dann auch bei den Aufgaben b-d...
zu2.
Hier war mir nicht bewusst, dass $ [mm] \overline{1-i} [/mm] $ ein Eigenwert sein muss, jetzt lässt sich r aber leicht berechnen:
$ [mm] (1-i)^2(1+i)^2r=4. [/mm] $ daraus folgt, dass r=1 ist und somit ist spur(A)=5
Somit ist diese Aufgabe gelöst.

Danke schonmal :)

Bezug
                        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Fr 12.04.2019
Autor: fred97


> zu1.
>  Leider hatten wir in der Vorlesung, da es noch sehr früh
> imSemester ist, Cayley-Hamilton noch gar nicht...


Vor 17 Monaten hast  Du hier  in diesem Forum schon Fragen  zur Linearen Algebra gestellt,  und Ihr  hattet  Cayley -Hamilton
noch nicht?


>  Gibt es daher keinen einfacheren Weg, um die Ränge der
> Matrizen zu berechnen, oder ist dies der einzige sinnvolle
> Weg?
>  Daran hängt es bei mir dann auch bei den Aufgaben b-d...
>  zu2.
>  Hier war mir nicht bewusst, dass [mm]\overline{1-i}[/mm] ein
> Eigenwert sein muss, jetzt lässt sich r aber leicht
> berechnen:
>  [mm](1-i)^2(1+i)^2r=4.[/mm] daraus folgt, dass r=1 ist und somit
> ist spur(A)=5
>  Somit ist diese Aufgabe gelöst.
>  
> Danke schonmal :)


Bezug
                                
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Fr 12.04.2019
Autor: Tobikall

Hallo fred,

vom Satz von Cayley-Hamilton habe ich tatsächlich noch nie etwas gehört...
Das kann aber auch daran liegen, dass ich Mathe nur auf Lehramt studiere und nur eine Vorlesung im Semester habe.
Habe mir den Satz online auch angelesen, allerdings sollte das ja eher nicht der Sinn der Aufgabe sein...

Bezug
                                        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Sa 13.04.2019
Autor: Tobikall

Vielleicht kann mir jemand ein Beispiel einer solchen Matrix geben, das würde mir sicherlich weiterhelfen.
Bei der b) habe ich halt das Problem, dass keine konkrete Matrix gegeben ist, kann man dann die Variablen über die gegebene Determinante und die Eigenwerte ausrechnen oder was ist hier der Trick?

Bezug
                        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 14.04.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de