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Forum "Differentiation" - MWS der Differentialrechnung
MWS der Differentialrechnung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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MWS der Differentialrechnung: Tipp/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Sa 09.05.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
Es sei [mm] I\subset\IR^{+} [/mm] ein abgeschlossenes Intervall auf dem die Funktion

[mm] f:I\to\IR, x\mapsto\bruch{3x}{1+\wurzel{x}} [/mm]

betrachtet wird. Bestimmen Sie eine Konstante K>0 so, dass für alle [mm] x,y\in [/mm] I gilt

[mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] K|x-y|.

Zuerst mal meine Rechnung bisher:

Seien [mm] x,y\in [/mm] I, x<y beliebig aber fest
f ist stetig auf [x,y] und differenzierbar auf (x,y)

Es gibt ein [mm] \mu\in(x,y) [/mm] mit [mm] f(x)-f(y)=f'(\mu)(x-y) [/mm]

[mm] f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})} [/mm]

[mm] |f(x)-f(y)|=|f'(\mu)||x-y|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})}||x-y|=|\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y| [/mm]

Das habe ich dazu bisher gerechnet
Frage lautet nun:
Wie komme ich nun weiter?
Meine Idee war zuerst folgendes:

[mm] |\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|\le\bruch{3}{2}|x-y|\Rightarrow K=\bruch{3}{2}, [/mm] da [mm] \limes_{\mu\rightarrow\infty}= \bruch{3}{2} [/mm]

Allerdings stimmt die Gleichung für kleine [mm] \mu [/mm] nicht.

An dieser Stelle wäre ich für einen Tip dankbar


        
Bezug
MWS der Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Sa 09.05.2015
Autor: fred97


> Es sei [mm]I\subset\IR^{+}[/mm] ein abgeschlossenes Intervall auf
> dem die Funktion
>
> [mm]f:I\to\IR, x\mapsto\bruch{3x}{1+\wurzel{x}}[/mm]
>  
> betrachtet wird. Bestimmen Sie eine Konstante K>0 so, dass
> für alle [mm]x,y\in[/mm] I gilt
>  
> [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] K|x-y|.
>  Zuerst mal meine Rechnung bisher:
>  
> Seien [mm]x,y\in[/mm] I, x<y beliebig aber fest
>  f ist stetig auf [x,y] und differenzierbar auf (x,y)
>  
> Es gibt ein [mm]\mu\in(x,y)[/mm] mit [mm]f(x)-f(y)=f'(\mu)(x-y)[/mm]
>  
> [mm]f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})}[/mm]



Das stimmt nicht.

FRED


>  
> [mm]|f(x)-f(y)|=|f'(\mu)||x-y|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})}||x-y|=|\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|[/mm]
>  
> Das habe ich dazu bisher gerechnet
>  Frage lautet nun:
>  Wie komme ich nun weiter?
>  Meine Idee war zuerst folgendes:
>  
> [mm]|\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|\le\bruch{3}{2}|x-y|\Rightarrow K=\bruch{3}{2},[/mm]
> da [mm]\limes_{\mu\rightarrow\infty}= \bruch{3}{2}[/mm]
>  
> Allerdings stimmt die Gleichung für kleine [mm]\mu[/mm] nicht.
>  
> An dieser Stelle wäre ich für einen Tip dankbar
>  


Bezug
                
Bezug
MWS der Differentialrechnung: Tipp/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Sa 09.05.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe vorherige

Stimmt hatte das Quadrat verschlampt

[mm] f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})^{2}} [/mm]

[mm] |f(x)-f(y)|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})^{2}}||x-y| [/mm]

allerdings komme ich dann erst recht nicht weiter, da durch ausklammern dann bei einer Limes-Betrachtung der Term gegen 0 gehen würde



Bezug
                        
Bezug
MWS der Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Sa 09.05.2015
Autor: MathePower

Hallo Martin_Ph,

> siehe vorherige
>  Stimmt hatte das Quadrat verschlampt
>  
> [mm]f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})^{2}}[/mm]
>  


[ok]


> [mm]|f(x)-f(y)|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})^{2}}||x-y|[/mm]
>  
> allerdings komme ich dann erst recht nicht weiter, da durch
> ausklammern dann bei einer Limes-Betrachtung der Term gegen
> 0 gehen würde
>  


Die Funktion f(x) ist doch streng monoton.

Das heisst die maximale Differenz tritt an den Intervallgrenzen auf.

Diese musst Du dann geeignet abschätzen.


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
MWS der Differentialrechnung: K = 3 ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Sa 09.05.2015
Autor: bezier

Hallo,

K = 3 genügt.
Beweisen nur mit Begrenzung von | f( x ) - f( y ) | ?

Mit x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 :
[mm] \sqrt{x} \ge [/mm] 0 => 1 + [mm] \sqrt{x} \ge [/mm] 1 =>
0 [mm] \le \frac{1}{1+\sqrt{x} } \le [/mm] 1

[mm] \sqrt{y} \ge [/mm] 0 => 1 + [mm] \sqrt{y} \ge [/mm] 1 =>
0 [mm] \le \frac{1}{1+\sqrt{y} } \le [/mm] 1

Dann :
0 [mm] \le \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le [/mm] 1
0 [mm] \le \frac{3 | x - y |}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le [/mm] 3 | x - y |
d.h. :
0 [mm] \le [/mm] | f( x ) - f( y ) | [mm] \le [/mm] 3 | x - y |

Gruss.


Bezug
                                        
Bezug
MWS der Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Sa 09.05.2015
Autor: MathePower

Hallo bezier,

> Hallo,
>  
> K = 3 genügt.
>  Beweisen nur mit Begrenzung von | f( x ) - f( y ) | ?
>  
> Mit x [mm]\ge[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm] 0 :
>  [mm]\sqrt{x} \ge[/mm] 0 => 1 + [mm]\sqrt{x} \ge[/mm] 1 =>

>  0 [mm]\le \frac{1}{1+\sqrt{x} } \le[/mm] 1
>  
> [mm]\sqrt{y} \ge[/mm] 0 => 1 + [mm]\sqrt{y} \ge[/mm] 1 =>
>  0 [mm]\le \frac{1}{1+\sqrt{y} } \le[/mm] 1
>  
> Dann :
>  0 [mm]\le \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le[/mm] 1
>  0 [mm]\le \frac{3 | x - y |}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le[/mm]
> 3 | x - y |
>  d.h. :
>  0 [mm]\le[/mm] | f( x ) - f( y ) | [mm]\le[/mm] 3 | x - y |
>  


[ok]


> Gruss.

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                
Bezug
MWS der Differentialrechnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Sa 09.05.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe oben

Wie kommt ihr denn aber auf K=3?

Auf die 3 müsste ich doch dann mit dem Rechenweg mit dem ich es probiere auch iwie kommen oder nicht?



Bezug
                                                        
Bezug
MWS der Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Sa 09.05.2015
Autor: MathePower

Hallo Martin_Ph,

> siehe oben
>  Wie kommt ihr denn aber auf K=3?
>  


Bringe f(x)-f(y) auf einen Nenner und schätze dann ab.


> Auf die 3 müsste ich doch dann mit dem Rechenweg mit dem
> ich es probiere auch iwie kommen oder nicht?
>  


Hier musst Du dann die Ableitung abschätzen.


Gruss
MathePower  

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