Lucky fruit:Minimaler Gewinn < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Sa 24.02.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Der elektronisch gesteuerte Geldspielautomat Lucky Fruit funktioniert so, dass er auf einem Bildschirm eine der drei Früchte Apfel, Birne oder Zitrone anzeigt. Die Anzeigewahr-scheinlichkeit für Apfel beträgt 10%, für Birne 30% und für Zitrone 60%.
(a) Beim Sonderspiel Double Play werden für den Einsatz von 20 Cent nacheinander zwei Spiele gestartet. Ein Gewinn stellt sich dann ein, wenn zweimal die gleiche Frucht angezeigt wird.
Im Falle von Apfel-Apfel spielt der Automat 75 Cent aus, bei Birne-Birne 50 Cent und bei Zitrone-Zitrone 25 Cent. In allen anderen Spielausfällen gibt es keine Auszahlung.
Die Einzelwahrscheinlichkeiten lassen sich elektronisch verstellen. Das Gerät soll nun so eingestellt werden, dass die Ereignisse Birne und Zitrone gleichwahr-scheinlich sind. Ermitteln Sie, wie die Wahrscheinlichkeit p für Apfel gewählt werden muss, damit der zu erwartende Gewinn minimal wird. |
Also ich habe erstmal folgende Gewinnfunktion aufgestellt:
g=x*0,75+y*0,5+z*0,25+(1-x-y-z)*(-0,2)
Dabei sind x, y und z die Wahrscheinlichkeiten, dass man durch einen "Doppelapfel", "Doppelbirne" oder "Doppelzitrone" gewinnt.
Dann kann man z=y setzen, weil die ja gleich groß sind.
Dann komme ich am Ende auf
G=0,95*x+1,15*z-0,25
Jetzt habe ich hier zwei Variablen drin, ist es noch möglich eine Variable durch die andere zu beschreiben? Und selbst wenn ich am Ende nur auf eine Variable komme und dann Ableite, dann bekomm ich doch kein richtiges Ergebnis raus.
Weiß da jemand weiter? Ich nehme an diese Aufgabe wurde schon sehr oft gerechnet.
Viele Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zuerst würde ich sagen, dass deine Gewinnfunktion nicht stimmt:
Denn, wenn du nichts gewinnst, muss das am ende =0 sein.
Definierst du den Gewinn aber als Einnahmen, also Einnahmen als Einzahlung - Auszahlung, so wie du das wohl vorhattest, denn am Ende stehte ja
(1-x-y-z) , was für die Wahrscheinlichkeit steht, dass du NICHTS gewinnst, steht da ja *(-20), was heißt, dass du 20 Cent verlierst.
Dann musst du die 20 Cent aber von ALLEN Gewinnen abziehen, denn wenn du 20 Cent einzahlst, und du 75 Cent gewinnst, ist dein Guthaben danach nur noch 55 Cent, und nicht 75 Cent.
Ich hoffe, du versthest die Porblematik.
Da dort aber nach dem Minimalgewinn gefragt ist, so wirst du dort die -20 am Ende weglassen müssen, denn dann ist der Gewinn ja 0.
Desweiteren fragtest du, ob man hinterher noch etwas umschriben kann, da du ja noch zwei Variablen hast.
Richtig, y=z, denn die Ereignisse sollen gleichwahrscheinlich sein.
Desweiteren weißt du doch, dass ALLE Ereignisse zusammen die Wahrscheinlichkeit von 1 haben müssen.
Also wirst du über die Beziehung wohl eine Variable durch die andere ausdrücken können.
Versuchs einfach mal.
Noch ein Zusatz von mir:
Die EINZELWAHRSCHEINLICHKEITEN zusammen müssen ja 1 ergeben, dadurch kannst du dann z.B. die Wahrscheinlichkeiten für Birne und für Zitrone durch die Wahrscheinlichkeit des Abpfels ausdrücken.
Nun habe ich dann noch eine Anmerkung:
Wenn du für x die Einzelwahrscheinlichkeit des Apfels meinst, so ist die Formel für den Gewinn auch noch falsch:
Denn die Wahrscheinlichkeit für DOPPEL-Apfel ist dann nicht x, sondern [mm] x^2, [/mm] da du ja beachten musst, dass beim ersten mal Apfel und beim zweiten Spiel ebenfalls Apfel erscheinen muss, und das passiert mit der Wahrscheinlichkeit von x*x.
Analog hierzu musst du dann natürlich auch mit den Wahrscheinlichkeiten für Doppelzitrone /-birne oder welche Früchte das noch waren, umgehen.
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Sa 24.02.2007 | | Autor: | ONeill |
Ok ich glaube nun hab ich das richtige raus.
Danke!
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