Logarithmus, Grenzwerte, < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Di 23.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man zeige: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle [mm] \alpha>0 [/mm] gilt für [mm] x\to \infty.
[/mm]
(i) [mm] x(logx)^n [/mm] =o [mm] (x^{1+\alpha})
[/mm]
(ii) [mm] x^n =o(e^{\sqrt{x}})
[/mm]
(iii) [mm] e^{\sqrt{x}}=o(e^{\alpha x}) [/mm] |
Hallo zusammen,
(i)
[mm] \frac{x(log(x))^n}{x^{1+\alpha}}= \frac{(log(x))^n}{x^{\alpha}}
[/mm]
Sei [mm] (x_m)_{m \in \IN} [/mm] eine Folge mit [mm] (x_m [/mm] -> [mm] \infty) [/mm] für [mm] m->\infty
[/mm]
[mm] \frac{(log(x_m))^n}{x_m^{\alpha}}= \frac{(log(x_n))^n}{e^{\alpha log(x_m)}}
[/mm]
Subsitution [mm] y_m [/mm] = [mm] \alpha log(x_m)
[/mm]
= [mm] \frac{y_m^n}{e^{y_m}}* \frac{1}{\alpha^n}
[/mm]
Wenn m-> [mm] \infty [/mm] geht auch [mm] y_m [/mm] -> [mm] \infty
[/mm]
Und da [mm] e^{y_m} [/mm] schneller wächst als jede Potenz von [mm] y_m [/mm] geht das ganze gegen 0
(ii)
[mm] \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}
[/mm]
Sei [mm] (x_m)_{m \in \IN} [/mm] eine Folge mit [mm] (x_m [/mm] -> [mm] \infty) [/mm] für m [mm] ->\infty
[/mm]
Es gilt: [mm] \exists [/mm] N [mm] \in [/mm] IN: [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_m [/mm] >0
[mm] \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}} [/mm] = [mm] (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2^n}
[/mm]
[mm] \frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}} [/mm] = [mm] \frac{u_m 2^n}{e^{u_m}} [/mm] -> 0 für [mm] m->\infty
[/mm]
wobei [mm] u_m [/mm] = [mm] \sqrt{x_m} \frac{1}{2^n} \forall [/mm] m [mm] \in \IN
[/mm]
Da der Grenzwert existiert, darf ich den limes [mm] hineinziehen:\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}} [/mm] = [mm] (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2^n} [/mm] -> [mm] (0)^{2^n}=0
[/mm]
(iii)
[mm] \frac{e^{\sqrt{x}}}{e^{\alpha x}}= \frac{e^{x^{1/2}}}{e^{\alpha x}}= e^{x^{1/2}} e^{-\alpha x} [/mm] = [mm] e^{x^{1/2} - \alpha x}
[/mm]
[mm] lim_{x->\infty} e^{x^{1/2} - \alpha x} [/mm] = [mm] e^{lim_{x->\infty}(x^{1/2} - \alpha x)}
[/mm]
Hier bräcuhte ich auch einen Tip ;P
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Di 23.12.2014 | | Autor: | sissile |
Ich hab meine Lösung zu (ii) ergänzt,
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Mi 24.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
>
> Hallo zusammen,
>
> (i)
> [mm]\frac{x(log(x))^n}{x^{1+\alpha}}= \frac{(log(x))^n}{x^{\alpha}}[/mm]
>
> Sei [mm](x_m)_{m \in \IN}[/mm] eine Folge mit [mm](x_m[/mm] -> [mm]\infty)[/mm] für
> [mm]m->\infty[/mm]
> [mm]\frac{(log(x_m))^n}{x_m^{\alpha}}= \frac{(log(x_n))^n}{e^{\alpha log(x_m)}}[/mm]
>
> Subsitution [mm]y_m[/mm] = [mm]\alpha log(x_m)[/mm]
> = [mm]\frac{y_m^n}{e^{y_m}}* \frac{1}{\alpha^n}[/mm]
>
> Wenn m-> [mm]\infty[/mm] geht auch [mm]y_m[/mm] -> [mm]\infty[/mm]
> Und da [mm]e^{y_m}[/mm] schneller wächst als jede Potenz von [mm]y_m[/mm]
> geht das ganze gegen 0
>
> (ii)
> [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm]
> Sei [mm](x_m)_{m \in \IN}[/mm] eine Folge mit [mm](x_m[/mm] -> [mm]\infty)[/mm] für
> m [mm]->\infty[/mm]
> Es gilt: [mm]\exists[/mm] N [mm]\in[/mm] IN: [mm]\forall[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_m[/mm] >0
> [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm] =
> [mm](\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
Das ist nicht richtig.
Setze [mm] $u=\sqrt [/mm] x$ und wende l'Hospital 2n mal an.
> [mm]\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}}[/mm] = [mm]\frac{u_m 2^n}{e^{u_m}}[/mm]
> -> 0 für [mm]m->\infty[/mm]
> wobei [mm]u_m[/mm] = [mm]\sqrt{x_m} \frac{1}{2^n} \forall[/mm] m [mm]\in \IN[/mm]
>
> Da der Grenzwert existiert, darf ich den limes
> [mm]hineinziehen:\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm] =
> [mm](\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frax{1}{2^n}}})^{2n}[/mm] ->
> [mm](0)^{2n}=0[/mm]
>
> (iii)
> [mm]\frac{e^{\sqrt{x}}}{e^{\alpha x}}= \frac{e^{x^{1/2}}}{e^{\alpha x}}= e^{x^{1/2}} e^{-\alpha x}[/mm]
> = [mm]e^{x^{1/2} - \alpha x}[/mm]
>
> [mm]lim_{x->\infty} e^{x^{1/2} - \alpha x}[/mm] =
> [mm]e^{lim_{x->\infty}(x^{1/2} - \alpha x)}[/mm]
> Hier bräcuhte ich
> auch einen Tip ;P
Um [mm] $\lim_{x->\infty}(x^{1/2} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] x)$ zu berechnen klammere x aus und wende die Grenzwertsätze an.
>
> LG,
> sissi
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mi 24.12.2014 | | Autor: | sissile |
> (ii)
> $ [mm] \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}} [/mm] $
> Sei $ [mm] (x_m)_{m \in \IN} [/mm] $ eine Folge mit $ [mm] (x_m [/mm] $ -> $ [mm] \infty) [/mm] $ für
> m $ [mm] ->\infty [/mm] $
> Es gilt: $ [mm] \exists [/mm] $ N $ [mm] \in [/mm] $ IN: $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \ge [/mm] $ N: $ [mm] x_m [/mm] $ >0
> $ [mm] \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}} [/mm] $ =
> $ [mm] (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n} [/mm] $
> Das ist nicht richtig.
> Setze $ [mm] u=\sqrt [/mm] x $ und wende l'Hospital 2n mal an.
Hospital ist noch unbekannt in dem Teil der Vorlesung darf entsprechend noch nicht benutzt werden.
Was ist denn falsch, außer dass ich es vlt. schlampig aufgeschrieben habe?
Wenn die Folge gegen unendlich konvergiert ist sie ab einen Index positiv, also darf ich die Wurzel ziehen.
ZZ.: [mm] lim_{x->\infty} \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}} [/mm] =0 dh für jede Folge [mm] (x_m)_{m\in \IN} [/mm] die gegen Unendlich konvergiert gilt: [mm] lim_{m->\infty} \frac{x_m^n}{e^{\sqrt{x_m}}} [/mm] =0
Sei nun [mm] (x_m)_{m \in \IN} [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] (x_m [/mm] -> [mm] \infty) [/mm] für (m [mm] ->\infty).
[/mm]
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n [/mm] >0
[mm] lim_{m->\infty}\frac{x_m^n}{e^{\sqrt{x_m}}}= lim_{m->\infty} (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 24.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
es kann sein, dass ich mich vertue, da ich gerade nur Zeit hatte, mal flüchtig
drüberzugucken (daher setze ich die Frage auch mal auf nur halb beantwortet):
> > (ii)
> > [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm]
> > Sei [mm](x_m)_{m \in \IN}[/mm] eine Folge mit [mm](x_m[/mm] -> [mm]\infty)[/mm]
> für
>
> > m [mm]->\infty[/mm]
> > Es gilt: [mm]\exists[/mm] N [mm]\in[/mm] IN: [mm]\forall[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_m[/mm] >0
> > [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm] =
> > [mm](\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
>
> > Das ist nicht richtig.
> > Setze [mm]u=\sqrt x[/mm] und wende l'Hospital 2n mal an.
> Hospital ist noch unbekannt in dem Teil der Vorlesung darf
> entsprechend noch nicht benutzt werden.
> Was ist denn falsch, außer dass ich es vlt. schlampig
> aufgeschrieben habe?
> Wenn die Folge gegen unendlich konvergiert ist sie ab
> einen Index positiv, also darf ich die Wurzel ziehen.
ich glaube, Du machst einen ähnlichen Fehler wie den, den man bei der
Folge [mm] $((1+1/n)^n)_n$ [/mm] kennt:
"Weil
$1+1/n [mm] \to 1\,,$
[/mm]
folgt [mm] $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n=\lim_{n \to \infty}1^n=1\,.$"
[/mm]
Das ist natürlich absoluter Unsinn. Der Unsinn entsteht, weil man
bei [mm] $(1+1/n)^n$ [/mm] mit wachsendem [mm] $n\,$ [/mm] ja gar nicht eine feste Anzahl an Faktoren
mehr hat - man kann also nicht den Satz "das Produkt endlich vieler konvergenter
Folgen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte" anwenden. Zumal
hier die alten Faktoren sich ja gar nicht ändern.
Ist Dir der Unterschied klar? Bei etwa
[mm] $a_n \to [/mm] a$, [mm] $b_n \to [/mm] b$ und [mm] $c_n \to [/mm] c$
besteht der Ausdruck
[mm] $a_n*b_n*c_n$
[/mm]
immer aus drei Fakoren.
Bei
[mm] $(1+1/n)^n$
[/mm]
haben wir für $n=1$ einen Faktor, für [mm] $n=2\,$ [/mm] 2 Faktoren, für [mm] $n=k\,$ [/mm] auch [mm] $k\,$ [/mm] Faktoren.
Wenn ich das richtig gesehen habe, machst Du in Deiner Rechnung
dahingehend einen analogen Fehler...
P.S. Formal bemerkt man das eigentlich, wenn man
[mm] $\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n=(\lim_{n \to \infty} (1+1/n))^n$
[/mm]
schon hinschreiben will: Das [mm] $n\,$ [/mm] ganz außen (Exponent) soll mit dem
[mm] $n\,$ [/mm] des Limes innerhalb *verbunden* sein - soll also *gegen [mm] $\infty$ [/mm] mitlaufen*,
obwohl wir es abgekoppelt haben???
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:03 Do 25.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Marcel, aber hier wäre die Hochzahl ganz unabhängig von dem Grenzübergang:
> > Sei $ [mm] (x_m)_{m \in \IN} [/mm] $ eine Folge mit $ [mm] (x_m [/mm] $ -> $ [mm] \infty) [/mm] $
> für
>
> > m $ [mm] ->\infty [/mm] $
> > Es gilt: $ [mm] \exists [/mm] $ N $ [mm] \in [/mm] $ IN: $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \ge [/mm] $ N: $ [mm] x_m [/mm] $ >0
> $ [mm] \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}} [/mm] $ = $ [mm] (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2^n} [/mm] $
Es geht dir doch nun darum:
[mm] lim_{m->\infty} (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2^n}
[/mm]
[mm] \not=
[/mm]
[mm] (lim_{m->\infty} \frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2^n}
[/mm]
Und das ist mir ehrlichgesagt unklar, wieso keine Gleichheit gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Fr 26.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo Marcel, aber hier wäre die Hochzahl ganz unabhängig
> von dem Grenzübergang:
>
> > > Sei [mm](x_m)_{m \in \IN}[/mm] eine Folge mit [mm](x_m[/mm] -> [mm]\infty)[/mm]
>
> > für
> >
> > > m [mm]->\infty[/mm]
> > > Es gilt: [mm]\exists[/mm] N [mm]\in[/mm] IN: [mm]\forall[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_m[/mm] >0
> > [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm] =
> [mm](\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
>
> Es geht dir doch nun darum:
> [mm]lim_{m->\infty} (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
>
> [mm]\not=[/mm]
> [mm](lim_{m->\infty} \frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
>
> Und das ist mir ehrlichgesagt unklar, wieso keine
> Gleichheit gilt.
nochmal: ich hatte nicht die Zeit, es mir in Ruhe anzugucken. Sobald ich die
habe, schaue ich mir Deine Rechnung nochmal an - sie kann ja auch korrekt
sein.
Aber das sage ich erst dann, wenn ich die Ruhe dafür habe (und da weiß
ich momentan keinen genauen Zeitpunkt zu benennen, das könnte auch
erst in 2 Wochen sein, wenn sich bis dahin niemand anderes das nochmal
anguckt). 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Fr 26.12.2014 | | Autor: | sissile |
Ich rudere zurück, weil die Umformung gar nicht stimmt.
Trotzdem danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 27.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 Do 25.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> > (ii)
> > [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm]
> > Sei [mm](x_m)_{m \in \IN}[/mm] eine Folge mit [mm](x_m[/mm] -> [mm]\infty)[/mm]
> für
>
> > m [mm]->\infty[/mm]
> > Es gilt: [mm]\exists[/mm] N [mm]\in[/mm] IN: [mm]\forall[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_m[/mm] >0
> > [mm]\frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm] =
> > [mm](\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
>
> > Das ist nicht richtig.
> > Setze [mm]u=\sqrt x[/mm] und wende l'Hospital 2n mal an.
> Hospital ist noch unbekannt in dem Teil der Vorlesung darf
> entsprechend noch nicht benutzt werden.
Dann verwende [mm] $\mathrm{e}^x>\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] \ [mm] \forall x\in \mathbb{R}$
[/mm]
> Was ist denn falsch, außer dass ich es vlt. schlampig
> aufgeschrieben habe?
> Wenn die Folge gegen unendlich konvergiert ist sie ab
> einen Index positiv, also darf ich die Wurzel ziehen.
>
> ZZ.: [mm]lim_{x->\infty} \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}[/mm] =0 dh für
> jede Folge [mm](x_m)_{m\in \IN}[/mm] die gegen Unendlich konvergiert
> gilt: [mm]lim_{m->\infty} \frac{x_m^n}{e^{\sqrt{x_m}}}[/mm] =0
> Sei nun [mm](x_m)_{m \in \IN}[/mm] eine beliebige Folge mit [mm](x_m[/mm] ->
> [mm]\infty)[/mm] für (m [mm]->\infty).[/mm]
> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_n[/mm] >0
> [mm]lim_{m->\infty}\frac{x_m^n}{e^{\sqrt{x_m}}}= lim_{m->\infty} (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}[/mm]
>
Wie kommst du denn auf diese Behauptung?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 25.12.2014 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] lim_{m->\infty}\frac{x_m^n}{e^{\sqrt{x_m}}}= lim_{m->\infty} (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n} [/mm] $
Hallo,
Ich führe folgende Rechnung aus:
[mm] \frac{x_m^n}{e^{\sqrt{x_m}}}= \frac{x_m^{2n*\frac{1}{2}}}{e^{\sqrt{x_m}*\frac{2n}{2n}}}=\frac{(x_m^{1/2})^{2n}}{(e^{\sqrt{x_m}*\frac{1}{2n})^{2n}}}= (\frac{\sqrt{x_m}}{e^{\sqrt{x_m}\frac{1}{2^n}}})^{2n}
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Fr 26.12.2014 | | Autor: | andyv |
Wenn ich das richtig sehe, dann ist bei dir [mm] $\frac{1}{2n}=\frac{1}{2^n}$?
[/mm]
Wie auch immer, du machst es eher komplizierter als einfacher.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Fr 26.12.2014 | | Autor: | sissile |
Du hast vollkommen recht das ist blödsinn...Ich hatte ein Brett vorm Kopf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Fr 26.12.2014 | | Autor: | sissile |
Neue Lösung zu (ii):
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt für [mm] x\to \infty:
[/mm]
(ii) $ [mm] x^n =o(e^{\sqrt{x}}) [/mm] $
[mm] \frac{x^n}{e^{\sqrt{x}}}=\frac{x^{\frac{2n}{2}}}{e^{\sqrt{x}*\frac{2n}{2n}}}=\frac{(x^{\frac{1}{2}})^{2n}}{(e^{\sqrt{x}*\frac{1}{2n}})^{2n}}= (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{\sqrt{x}*\frac{1}{2n}}})^{2n} [/mm]
Nun schaue ich mir den Ausdruck unter der Hochzahl an:
Setze u= [mm] \sqrt{x}* \frac{1}{2n}
[/mm]
[mm] \frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{\sqrt{x}*\frac{1}{2n}}}= \frac{u*2n}{e^{u}}\rightarrow [/mm] 0 für [mm] x\rightarrow\infty
[/mm]
Denn wenn [mm] x\rightarrow\infty [/mm] geht auch [mm] u\rightarrow\infty.
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{\sqrt{x}*\frac{1}{2n}}})^{2n}= (\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{\sqrt{x}*\frac{1}{2n}}})^{2n}=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Fr 26.12.2014 | | Autor: | andyv |
Ist in Ordnung.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Sa 27.12.2014 | | Autor: | sissile |
Danke!!
LG,
sissi
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