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Forum "Integration" - Lösung mit Residuenmethode
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Lösung mit Residuenmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Do 22.01.2009
Autor: DerGraf

Hallo, ich soll das Integral:

[mm] \int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx [/mm]

mit a>b>0  mit Hilfe der Residuenmethode lösen:

Mein Ansatz:

[mm] \int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{z(a+b/2(z+1/z))^2}dz=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}}dz [/mm]

Bestimmung der Nullstellen des Nenners:

[mm] 0=a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1} [/mm]

[mm] 0=a^2z^2+abz^3+abz+(b^2/4)z^4+(b^2/2)z^2+(b^2/4) [/mm]

[mm] 0=z^4+(4a/b)z^3+((4a^2/b^2)+2)z^2+(4a/b)z+1 [/mm]

Ab hier komme ich nicht weiter. Ich brauche die Nullstellen für die Residuenmethode, weiß aber nicht so ganz, wie ich die bekomme. Auf die Lösungsformel für Polynome 4. Grades würde ich nach Möglichkeit gerne verzichten :)

Hat jemand von euch eine Idee?

Gruß DerGraf

        
Bezug
Lösung mit Residuenmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Do 22.01.2009
Autor: MathePower

Hallo DerGraf,

> Hallo, ich soll das Integral:
>  
> [mm]\int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx[/mm]
>  
> mit a>b>0  mit Hilfe der Residuenmethode lösen:
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]\int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{z(a+b/2(z+1/z))^2}dz=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}}dz[/mm]
>  
> Bestimmung der Nullstellen des Nenners:
>  
> [mm]0=a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}[/mm]
>  
> [mm]0=a^2z^2+abz^3+abz+(b^2/4)z^4+(b^2/2)z^2+(b^2/4)[/mm]
>  
> [mm]0=z^4+(4a/b)z^3+((4a^2/b^2)+2)z^2+(4a/b)z+1[/mm]
>  
> Ab hier komme ich nicht weiter. Ich brauche die Nullstellen
> für die Residuenmethode, weiß aber nicht so ganz, wie ich
> die bekomme. Auf die Lösungsformel für Polynome 4. Grades
> würde ich nach Möglichkeit gerne verzichten :)
>  
> Hat jemand von euch eine Idee?


Forme das so um:

[mm] \int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b\cdot{}cos(x))^2}dx=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{z(a+b/2(z+1/z))^2}dz=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{z^{2}}{z*\left(\bruch{b}{2}*z^{2}+a*z+\bruch{b}{2}\right)^{2}}dz [/mm]

[mm]=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{z}{\left(\bruch{b}{2}*z^{2}+a*z+\bruch{b}{2}\right)^{2}}dz =\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{4z}{\left(b*z^{2}+2*a*z+b\right)^{2}}dz [/mm]

Jetzt kannst Du die Nullstellen explizit angeben
und somit die Residuen berechnen.


>  
> Gruß DerGraf


Gruß
MathePower


Bezug
                
Bezug
Lösung mit Residuenmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 Do 22.01.2009
Autor: DerGraf

Vielen Dank :)
So sieht das doch gleich viel angenehmer aus :)

Nach der Lösungsformel komme ich also auf:

[mm] -(a/b)\pm\wurzel{(a^2/b^2)-1)} [/mm]

Ich melde mich dann wieder, wenn ich den Rest gerechnet habe!

Gruß DerGraf

Bezug
                
Bezug
Lösung mit Residuenmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Fr 23.01.2009
Autor: DerGraf

[mm] f(z)=\bruch{4z}{\left(b\cdot{}z^{2}+2\cdot{}a\cdot{}z+b\right)^{2}}=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\right)^{2}} [/mm]

Damit ist [mm] g(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}} [/mm]

und [mm] h(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}} [/mm]

Da [mm] \bruch{1}{(2-1)!}=1 [/mm] ist, muss ich also für meine Residuen nur noch meine Funktionen g und h ableiten und die entsprechenden Nullstellen einsetzen.

Für [mm] g'\left(-\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right) [/mm] erhalte ich das Residuum [mm] \bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3} [/mm]

und für [mm] h'\left(-\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right) [/mm] erhalte ich das Residuum [mm] -\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3} [/mm]

Da das 2. Residuum ein negatives Vorzeichen hat, erhalte ich [mm] \bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3} [/mm] als Ergebnis meines Integrals.

Stimmt das jetzt alles so?

Gruß DerGraf

Bezug
                        
Bezug
Lösung mit Residuenmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Fr 23.01.2009
Autor: MathePower

Hallo DerGraf,

>
> [mm]f(z)=\bruch{4z}{\left(b\cdot{}z^{2}+2\cdot{}a\cdot{}z+b\right)^{2}}=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\right)^{2}}[/mm]
>  
> Damit ist
> [mm]g(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}}[/mm]
>  
> und
> [mm]h(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}}[/mm]
>  
> Da [mm]\bruch{1}{(2-1)!}=1[/mm] ist, muss ich also für meine
> Residuen nur noch meine Funktionen g und h ableiten und die
> entsprechenden Nullstellen einsetzen.
>  
> Für
> [mm]g'\left(-\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)[/mm]
> erhalte ich das Residuum
> [mm]\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}[/mm]


Das brauchst Du hier nicht berechnen, da [mm]\vmat{-\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}}>1[/mm]




>  
> und für
> [mm]h'\left(-\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)[/mm]
> erhalte ich das Residuum
> [mm]-\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}[/mm]
>  
> Da das 2. Residuum ein negatives Vorzeichen hat, erhalte
> ich
> [mm]\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}[/mm]
> als Ergebnis meines Integrals.
>  
> Stimmt das jetzt alles so?


Das Residuum ist hier mit [mm]2\pi i[/mm] zu multiplizieren.


>  
> Gruß DerGraf


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lösung mit Residuenmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 Fr 23.01.2009
Autor: DerGraf

Oh, da hast du recht. Vielen Dank für deine Hilfe :)

Gruß DerGraf

Bezug
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