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Limes berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x * log [mm] \bruch{x-1}{x+1}. [/mm]



Hallo,

log ist der natürliche Logarithmus.

Meine Frage hierzu ist, ob man den Limes sofort bestimmen kann, also, dass der Limes [mm] -\infty [/mm] ist, da der Logarithmus größer 0 und kleiner 1 eine negative Zahl ergibt. Oder muss man hier die Regel von L'Hospital anwenden?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Limes berechnen: de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Fr 15.02.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Fabian!


Für den Gesamtgrenzwert wirst Du um Herrn de l'Hospital nicht rumkommen.

Denn es gilt: [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{0}$ [/mm] .


Bevor Du aber im Zähler ableitest, würde ich zerlegen: [mm] $\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x-1)-\ln(x+1)$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Limes berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Ist das ein Fehler, wieso bei dir der Limes x -> [mm] -\infty [/mm] statts [mm] \infty [/mm] geht?

Bezug
                        
Bezug
Limes berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl

ja das sollte ein fehler sein.

lg scherzkrapferl

EDIT: noch ein kleiner tipp von mir: setzte y=(1/x) und wende anschließend des herrn de l'hospitals geniale regel an ;)

wenn du dann bei -2 angelang bist weißt du ob du's geschafft hast.


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Bezug
Limes berechnen: verguckt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Fr 15.02.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Fabian!


> Ist das ein Fehler, wieso bei dir der Limes x -> [mm]-\infty[/mm]
> statts [mm]\infty[/mm] geht?

Ups, da habe ich mich verguckt. Nun sollte es oben stimmen.


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Limes berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Hab jetzt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1}* (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}). [/mm]
Wenn man nun x einsetzt, dann ergibt das
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 0 * 0, also [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*log\bruch{x-1}{x+1}=0 [/mm]
Stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
Limes berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl


> Hab jetzt [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1}* (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}).[/mm]
>  
> Wenn man nun x einsetzt, dann ergibt das
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] 0 * 0, also
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x*log\bruch{x-1}{x+1}=0[/mm]
>  Stimmt das so?

nein .. siehe meine erste antwort das ergebnis sollte -2 sein !! wo ist dein logarithmus hin verschwunden ? wie kommst du auf diese umformung ? bitte rechenschritte angeben damit wir nachvollziehen können wo deine probleme liegen. noch dazu is lim(0*0) nicht berechenbar ... lies dir nochmal de l'hospital durch

lg

EDIT:

wenn du meinen ansatz verwendest musst du nur noch beachten dass der limes für y->0 rennt und nicht mehr gegen unendlich ;)


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Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Ich weiß nicht, was du mit y meinst, da kommt keines drin vor.

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1}\cdot{} (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}) [/mm]
sind die Ableitungen, deswegen ist der Logarithmus weg.

Bezug
                                        
Bezug
Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl

ich würde dich bitte meine aller erste antwort zu lesen. wenn du zu faul bist dies zu tun erwarte in zukunft bitte keine antworten mehr.

in meiner mitteilung habe ich dir schon die lösung gegeben


Bezug
                                
Bezug
Limes berechnen: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl

damit du mal auf einen grünen zweig kommst ein kleiner denkanstoß:
(die rechenschritte musst du aber selbst durchführen)

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left[x\cdot{}\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm]

so wenn wir jetzt [mm]y=\frac{1}{x}[/mm] setzten folgt

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} = \limes_{\frac{1}{y}\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y} = \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y} [/mm]

das ganze entspricht wieder 0/0 also haben wir hier de l'hospital anzuwenden

[mm] ...=\limes_{y\rightarrow 0}{\bruch{2}{y^{2}-1} [/mm]

wenn du willst kannst du jetzt noch den 2er aus dem limes rausheben. anschließend y->0 rennen lassen und schon hast du -2 ;)


Bezug
                                        
Bezug
Limes berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Okay, habs :D
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y} [/mm]
Jetzt wende ich l'Hospital an:
Ableitung von y=1
Ableitung von [mm] log\bruch{\bruch{1}{y}-1}{\bruch{1}{y}+1}=\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}+1} [/mm]
Wenn ich nun davon den Limes berechne, also [mm] \limes_{y\rightarrow 0} 1*(\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}+1})=-2 [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Limes berechnen: Achtung nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl


> Okay, habs :D
>  [mm]\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{\ln\left(\bruch{\frac{1}{y}-1}{\frac{1}{y}+1}\right)}{y}[/mm]
> Jetzt wende ich l'Hospital an:
>  Ableitung von y=1
>  Ableitung von
> [mm]log\bruch{\bruch{1}{y}-1}{\bruch{1}{y}+1}=\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y}+1}[/mm]

DAS IST FALSCH !!! [tatue] berechne die ableitung des log nochmals

>  Wenn ich nun davon den Limes berechne, also
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0} 1*(\bruch{1}{\bruch{1}{y}-1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y}+1})=-2[/mm]  

wenn du hier den limes berechnest wirst du probleme mit unendlichkeiten haben. keine ahnung wieso abakus das auf beantwortet gestellt hat.


Bezug
                                                        
Bezug
Limes berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Mh, ich habe keine Ahnung, wie davon die Ableitung geht, also hab ichs mal in nem Onlinerechner eingegeben und versucht nachzuvollziehen. Dabei kam
[mm] \bruch{-1}{(\bruch{1}{y}-1)*y^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{-1}{(\bruch{1}{y}+1)*y^{2}} [/mm] raus, aber für y -> 0 wird durch 0 dividiert

Bezug
                                                                
Bezug
Limes berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl

woher hattest du dann deine vorige berechnung?

am einfachsten ist es wenn du log(a/b)=log(a)-log(b) verwendest und dann ableitest.

das ergebnis lautet [mm] $\frac{2}{y^{2}-1}$ [/mm]


Bezug
                                                                        
Bezug
Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 Fr 15.02.2013
Autor: Fabian5

Hab die Ableitungen jetzt verstanden.
[mm] log(\bruch{1}{y}-1)-log(\bruch{1}{y}+1)= [/mm]
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}-1}*(\bruch{-1}{y^{2}})-\bruch{1}{\bruch{1}{y}+1}*\bruch{-1}{y^{2}}= [/mm]
[mm] -\bruch{1}{y-y^{2}}+\bruch{1}{y+y^{2}}= [/mm]
[mm] -\bruch{1*(y+y^{2})}{(y-y^{2})*(y+y^{2})}+\bruch{1*(y-y^{2})}{(y+y^{2})*(y-y^{2})}= [/mm]
[mm] -\bruch{y+y^{2}}{y^{2}+y^{3}-y^{3}-y^{4}}+\bruch{y-y^{2}}{y^{2}+y^{3}-y^{3}-y^{4}}= [/mm]
[mm] -\bruch{2y^{2}}{y^{2}+y^{3}-y^{3}-y^{4}}= [/mm]
[mm] -\bruch{2}{1+y^{1}-y^{1}-y^{2}}= [/mm]
[mm] -\bruch{2}{1-y^{2}} [/mm]
Und da y -> 0 ergibt das den Limes -2.
Danke

Bezug
                                                                                
Bezug
Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Sa 16.02.2013
Autor: scherzkrapferl

hab's jetzt nur überflogen, aber sieht schon mal sehr gut aus [smilie3]

lg


Bezug
                
Bezug
Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:10 Fr 15.02.2013
Autor: abakus


> Hallo Fabian!
>  
>
> Für den Gesamtgrenzwert wirst Du um Hern de l'Hospital
> nicht rumkommen.

Wirlich?
Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty} \ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)^x =\ln\frac{1}{e^2}[/mm] .
Gruß Abakus

>  
> Denn es gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)}{\bruch{1}{x}} \ = \ \bruch{0}{0}[/mm]
> .
>  
>
> Bevor Du aber im Zähler ableitest, würde ich zerlegen:
> [mm]\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right) \ = \ \ln(x-1)-\ln(x+1)[/mm] .
>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner


Bezug
                        
Bezug
Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Fr 15.02.2013
Autor: scherzkrapferl


> > Für den Gesamtgrenzwert wirst Du um Hern de l'Hospital
> > nicht rumkommen.
>  Wirlich?
>  Es ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty} \ln\left(\bruch{x-1}{x+1}\right)^x =\ln\frac{1}{e^2}[/mm]
> .
>  Gruß Abakus

haha das macht die sache ja noch viel viel einfacher [grins]

lg


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