www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Levi-Civita-Symbol
Levi-Civita-Symbol < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Levi-Civita-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 So 04.07.2021
Autor: Annkathrin20



Guten Mittag!

Ich versuche das Levi-Civita-Symbol im $n$ - dimensionalen zu verstehen. Wikipedia scheint da eine der wenigen Seiten zu sein, die die Verallgemeinerung behandeln. Daher orientiere ich mich daran. Auf Wikipedia werden drei Definitionen des Levi-Civita- Symbols vorgestellt, wobei ich mich für die dritte entschieden habe, da sie für mich kompakter und übersichtlicher ist. Ich habe aber die dritte Definition ein bisschen umgeschrieben, um die Definition so übersichtlich wie möglich stehen zu haben.

Ich hoffe, diese passt so:


Sei $n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Wir definieren die Mengen $N:= [mm] \{1, 2, \ldots, n \}, [/mm] P:= [mm] \{-1, 0 , + 1\}$ [/mm] und $Abb(N) := [mm] \{ \sigma\; \vert \; \sigma: N \rightarrow N \}$ [/mm]
Wir nennen dann die Abbildung  [mm] $\varepsilon: [/mm] Abb(N) [mm] \rightarrow [/mm] P, [mm] \sigma \mapsto \varepsilon_{(\sigma (i))_{i = 1}^{n}} [/mm] := [mm] \varepsilon(\sigma) [/mm] =  [mm] \begin{cases} sgn(\sigma), \; \text{falls}\; \sigma \in \mathbb{S}_{n} \\ 0, \; \text{falls}\; \sigma \in Abb(N) \setminus \mathbb{S}_{n} \\ \end{cases}$ [/mm] das Levi-Civita-Symbol.


Meine eigentliche Frage bezieht sich auf folgenden Abschnitt:


"Die Determinante einer [mm] $n\times [/mm] n-Matrix A = [mm] \left(a_{ij}\right)$ [/mm] kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden: $ [mm] \det A=\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{1j_{1}}\dots A_{nj_{n}}$. [/mm] Allgemeiner gilt der Zusammenhang [mm] $\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \det [/mm] A = [mm] \varepsilon_{j_1 \dots j_n} A_{i_1j_1} \dots A_{i_nj_n}$." [/mm]

Ich schreibe die letzte Gleichung etwas formaler auf:

Sei [mm] $\pi \in \mathbb{S}_{n}$. [/mm] Dann gilt die Gleichung [mm] $\varepsilon_{(\pi(i))_{i = 1}^{n}} \cdot [/mm] det(A) = [mm] \varepsilon_{(\sigma(i))_{i = 1}^{n}} \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(i) \sigma(i)} [/mm]


Ich möchte diese Gleichung gerne beweisen und zwar mit der Leibnizformel. Aber ich habe schon am Anfang des Beweises Probleme.

Sei [mm] $\pi, \sigma \in \mathcal{S}_{n}$. [/mm] Dann gilt [mm] $\varepsilon_{(\pi(i))_{i = 1}^{n}} \cdot [/mm] det(A)  = [mm] sgn(\pi) \cdot [/mm] det(A) = [mm] sgn(\pi)\left ( \sum\limits_{\delta \in \mathcal{S}_{n}} \left ( sgn(\delta) \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} \right )\right [/mm] ) = [mm] \sum\limits_{\delta \in \mathcal{S}_{n}} \left ( sgn(\pi \circ \delta) \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} \right [/mm] )$


Kann mir da jemand einen Tipp geben? Dachte, dass ich mit der Verkettungseigenschaft der Permutationen weiterkomme, aber mir fällt keine Idee ein, wie ich diese Summe vereinfachen soll.

Gruß, Anni



        
Bezug
Levi-Civita-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Di 06.07.2021
Autor: statler

Hi Anni!

Da hat man doch folgende Gleichungskette:

det(A) = [mm] \summe_{\sigma \in S_{n}}^{}sgn(\sigma) \cdot \produkt_{i=1}^{n}a_{i \sigma(i)} [/mm]  (Entwicklungssatz)

=  [mm] \summe_{\sigma \pi^{-1} \in S_{n}}^{}sgn(\sigma \pi^{-1}) \cdot \produkt_{i=1}^{n}a_{i \sigma \pi^{-1}(i)} [/mm]  (da [mm] \pi [/mm] feste Permutation ist)

= [mm] \summe_{\sigma \pi^{-1} \in S_{n}}^{}sgn(\sigma \pi^{-1}) \cdot \produkt_{j=1}^{n}a_{\pi(j) \sigma (j)} [/mm]  (für i = [mm] \pi(j), [/mm] Kommutativgesetz der Add.)

= [mm] sgn(\pi^{-1}) \cdot \summe_{\sigma \pi^{-1} \in S_{n}}^{}sgn(\sigma) \cdot \produkt_{j=1}^{n}a_{\pi(j) \sigma (j)} [/mm] (Distributivgesetz, Homomorphie der Signatur)

= [mm] sgn(\pi^{-1}) \cdot \summe_{\sigma \in S_{n}}^{}sgn(\sigma) \cdot \produkt_{j=1}^{n}a_{\pi(j) \sigma (j)} [/mm]  (da mit [mm] \sigma \pi^{-1} [/mm] auch [mm] \sigma [/mm] ganz [mm] S_{n} [/mm] durchläuft, wie oben)

Gruß
Dieter


Bezug
                
Bezug
Levi-Civita-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Do 08.07.2021
Autor: Annkathrin20

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Guten Abend!

Vielen Dank für die Antwort. Ich denke, ich habe alles verstanden. Mich hat nur die Bemerkung "Kommutativität der Addition" verwirrt. Meinten Sie nicht zufällig die Kommutativität der Multiplikation? Denn die habe ich dann unten nochmal verwendet.

Ich habe den Beweis für mich etwas ausführlicher umgeschrieben. Sind meine Begründungen so in Ordnung?


Sei $\pi^{- 1} \in \mathbb{S}_{n}$ beliebig. Das Tupel $( \mathbb{S}_{n}, \circ)$ ist eine Gruppe. Wir bilden nun die zu $\pi^{-1}$ gehörende Rechtsnebenklasse von $ \mathbb{S}_{n}$ in $ \mathbb{S}_{n}$. Es gilt $ \left [\pi^{- 1} \right ]} = \mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1} =  \mathbb{S}_{n}$. Das heißt, ich kann in der Summe die Elemente von $\mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1}$  durchlaufen, anstatt die Elemente von $ \mathbb{S}_{n}$. Macht ja keinen Unterschied.

Wir erhalten also die Gleichheit  $\sum\limits_{\sigma \in \mathbb{S}_{n}} sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)}$


Nun existiert für jedes $i \in N$ genau ein $j_{i} \in N$ mit $\pi(j_{i}) = i$.

Wir erhalten also die Gleichheit:

$\sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \delta(\pi(j_{i}))} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \sigma(j_{i})}$

$ = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left (   a_{\pi(j_{1}), \sigma(j_{1})} \cdot  a_{\pi(j_{2}), \sigma(j_{2})} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(j_{n}), \sigma(j_{n})} \right ) = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left (   a_{\pi(1), \sigma(1)} \cdot  a_{\pi(2), \sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(n), \sigma(n)} \right )$

$ = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}$



$Sgn$ ist homomorph, d.h. es gilt $Sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) = Sgn(\sigma) \cdot Sgn(\pi^{- 1}) $ für alle $\sigma \in \mathbb{S}_{n}$.


Damit haben wir insgesamt


$\sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot  sgn(\pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma)  \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}$

$ = sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{\sigma  \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma)  \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}$


Gruß, Anni

Bezug
                        
Bezug
Levi-Civita-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Fr 09.07.2021
Autor: statler

Mahlzeit!

> Guten Abend!
>  
> Vielen Dank für die Antwort. Ich denke, ich habe alles
> verstanden. Mich hat nur die Bemerkung "Kommutativität der
> Addition" verwirrt. Meinten Sie nicht zufällig die
> Kommutativität der Multiplikation?

Du hast recht, genau genommen werden bei dieser Schreibweise sogar beide Kommutativitäten vorausgesetzt, da in der Summation die Reihenfolge ja nicht festliegt. Sonst müßte ich die Elemente der [mm] $S_{n}$ [/mm] auch noch indizieren, also [mm] $\delta_{k} [/mm] = [mm] \sigma_{k}\pi^{-1}$ [/mm] für k = 1, ... , n! Das gibt der Sache dann den Rest :)

> Denn die habe ich dann
> unten nochmal verwendet.
>
> Ich habe den Beweis für mich etwas ausführlicher
> umgeschrieben. Sind meine Begründungen so in Ordnung?
>  
>
> Sei [mm]\pi^{- 1} \in \mathbb{S}_{n}[/mm] beliebig. Das Tupel [mm]( \mathbb{S}_{n}, \circ)[/mm]
> ist eine Gruppe. Wir bilden nun die zu [mm]\pi^{-1}[/mm] gehörende
> Rechtsnebenklasse von [mm]\mathbb{S}_{n}[/mm] in [mm]\mathbb{S}_{n}[/mm]. Es
> gilt [mm]\left [\pi^{- 1} \right ]} = \mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1} = \mathbb{S}_{n}[/mm].
> Das heißt, ich kann in der Summe die Elemente von
> [mm]\mathbb{S}_{n} \circ \pi^{- 1}[/mm]  durchlaufen, anstatt die
> Elemente von [mm]\mathbb{S}_{n}[/mm]. Macht ja keinen Unterschied.
>
> Wir erhalten also die Gleichheit  [mm]\sum\limits_{\sigma \in \mathbb{S}_{n}} sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \sigma(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)}[/mm]
>  
>
> Nun existiert für jedes [mm]i \in N[/mm] genau ein [mm]j_{i} \in N[/mm] mit
> [mm]\pi(j_{i}) = i[/mm].
>
> Wir erhalten also die Gleichheit:
>  
> [mm]\sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{i, \delta(i)} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \delta(\pi(j_{i}))} = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{\pi(j_{i}), \sigma(j_{i})}[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left ( a_{\pi(j_{1}), \sigma(j_{1})} \cdot a_{\pi(j_{2}), \sigma(j_{2})} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(j_{n}), \sigma(j_{n})} \right ) = \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \left ( a_{\pi(1), \sigma(1)} \cdot a_{\pi(2), \sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{\pi(n), \sigma(n)} \right )[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{\delta \in \left [\pi^{- 1} \right ] } sgn(\delta) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}[/mm]
>  
>
>
> [mm]Sgn[/mm] ist homomorph, d.h. es gilt [mm]Sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) = Sgn(\sigma) \cdot Sgn(\pi^{- 1})[/mm]
> für alle [mm]\sigma \in \mathbb{S}_{n}[/mm].
>  
>
> Damit haben wir insgesamt
>
>
> [mm]\sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma \circ \pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot sgn(\pi^{- 1}) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)} = sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{(\sigma \circ \pi^{- 1}) \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}[/mm]
>  
> [mm]= sgn(\pi^{- 1}) \sum\limits_{\sigma \in \mathbb{S}_{n} } sgn(\sigma) \cdot \prod\limits_{j = 1}^{n} a_{\pi(j), \sigma(j)}[/mm]

Ich habe nichts weiter zu bekritteln.
Gruß Dieter


Bezug
                                
Bezug
Levi-Civita-Symbol: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:47 Mo 12.07.2021
Autor: Annkathrin20

Super, vielen vielen Dank. Sie haben mehr sehr weitergeholfen :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de