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Laurentreihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 03.01.2014
Autor: ppimaldaumen

Aufgabe
Die Laurentreihe für die Funktion sin(1/z)+ cos(2/z) um den Entwicklungspunkt z0=0 ist zu ermitteln. Dazu soll angegeben werden, wo die Reihe konvergiert.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


Ich kenne bereits die Form einer Laurentreihe und die Aufteilung in Hauptteil und Nebenteil.

f(z) = [mm] \summe_{i=-\infty}^{\infty} [/mm] an [mm] z^n [/mm]

Ich verstehe nicht wie ich vorangehen soll.



        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Fr 03.01.2014
Autor: MathePower

Hallo ppimaldaumen,

[willkommenmr]


> Die Laurentreihe für die Funktion sin(1/z)+ cos(2/z) um
> den Entwicklungspunkt z0=0 ist zu ermitteln. Dazu soll
> angegeben werden, wo die Reihe konvergiert.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  


Über ein freundliches Hallo freuen wir uns auch.


>
> Ich kenne bereits die Form einer Laurentreihe und die
> Aufteilung in Hauptteil und Nebenteil.
>
> f(z) = [mm]\summe_{i=-\infty}^{\infty}[/mm] an [mm]z^n[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wie ich vorangehen soll.
>  


Sicherlich sind Dir auch die Taylorreihen
für Sinus und Cosinus bekannt.
Setze in diese Taylorreihen die entsprechenden Argumente ein.  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Fr 03.01.2014
Autor: ppimaldaumen

Hey danke erst einmal für die Antwort :)
Ja, die kenne ich auch .. also soll ich sin(z) einfach durch sin(1/z) ergänzen ??

Bezug
                        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Fr 03.01.2014
Autor: MathePower

Hallo ppimaldaumen,

> Hey danke erst einmal für die Antwort :)
> Ja, die kenne ich auch .. also soll ich sin(z) einfach
> durch sin(1/z) ergänzen ??  


Das Argument z ist durch das Argument [mm]\bruch{1}{z}[/mm] zu ersetzen.


Gruss
MathePower

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Bezug
Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Fr 03.01.2014
Autor: ppimaldaumen

ich meinte natürlich ersetzen ..
habe ich gemacht und nun habe ich zwei Summen was nun ?

Bezug
                                        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Fr 03.01.2014
Autor: MathePower

Hallo ppimaldaumen,


> ich meinte natürlich ersetzen ..
> habe ich gemacht und nun habe ich zwei Summen was nun ?  


Die zwei Summen zu einer zusammenfassen
und den Konvergenzradius bestimmen.


Gruss
MathePower

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Bezug
Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Fr 03.01.2014
Autor: ppimaldaumen

was sagt der r aus ?

Bezug
                                                        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Fr 03.01.2014
Autor: MathePower

Hallo ppimaldaumen,

> was sagt der r aus ?


Da es sich um eine Konvergenzbetrachtung handelt,
sagt r aus, daß die Reihe für [mm]\vmat{z-z_{0}} < r[/mm] konvergiert.


Gruss
MathePower

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Bezug
Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Mi 08.01.2014
Autor: ppimaldaumen

Damit wäre ich fertig ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mi 08.01.2014
Autor: MathePower

Hallo ppimaldaumen,

> Damit wäre ich fertig ?  


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mi 08.01.2014
Autor: ppimaldaumen

die zusammengefasste Summe sieht bei mir so aus :

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] (-1)^k [/mm] * z^2k-2) / (2k!) ) + ( [mm] (-1)^k [/mm] * z^2k )/ ( 2k+1)! )


wo benutze ich überhaupt den Entwicklungspunkt ??

lg

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Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Mi 08.01.2014
Autor: MathePower

Hallo ppimaldaumen,

> die zusammengefasste Summe sieht bei mir so aus :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] ( [mm](-1)^k[/mm] * z^2k-2) / (2k!) ) + (
> [mm](-1)^k[/mm] * z^2k )/ ( 2k+1)! )
>


Das ist nicht die Laurentreihe. [notok]


>
> wo benutze ich überhaupt den Entwicklungspunkt ??
>
> lg


Gruss
MathePower

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Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Do 09.01.2014
Autor: fred97

Ich würde mir die Potenzreihenentwicklungen

  [mm] \sin(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*z^n [/mm] und  [mm] \cos(2z)=\summe_{n=0}^{\infty}b_n*z^n [/mm]

verschaffen. Das sollte ich hinbekommen. Alsdann würde ich definieren

    [mm] $f(z):=\sin(z)+\cos(2z)=\summe_{n=0}^{\infty}c_n*z^n [/mm] $,

wobei [mm] c_n=a_n+b_n. [/mm]

Nun sollte ich mich dran machen, die [mm] c_n [/mm] zu berechnen. Wenn ich das gemacht hätte, so hätte ich mit

      (*)   [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{c_n}{z^n} [/mm]


die gesuchte Laurententwicklung vor der Nase.

Zur Konvergenzfrage: ich würde zunächst die folgende Menge K bestimmen:

[mm] $K:=\{z \in \IC: \summe_{n=0}^{\infty}c_n*z^n ist \quad konvergent \}. [/mm]

Dann würde ich mir überlegen, dass für z [mm] \in \IC [/mm] gilt:

  die Reihe in (*) konvergiert   [mm] \gdw [/mm]  $z [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}.$ [/mm]

All das hab ich nicht gemacht, denn Du sollst das tun !

FRED

Bezug
                
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Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Do 09.01.2014
Autor: ppimaldaumen

Hilft mir auf alle Fälle weiter.
Wenn ich aber meine Funktion mit dem ENtwicklungspunkt z0=0 in die Taylorreihe einsetze habe ich das Problem, durch 0 teilen zu müssen wegen sin(1/z) :S ; oder habe ich da was falsch gemacht ?



Bezug
                        
Bezug
Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Do 09.01.2014
Autor: fred97


> Hilft mir auf alle Fälle weiter.
>  Wenn ich aber meine Funktion mit dem ENtwicklungspunkt
> z0=0 in die Taylorreihe einsetze habe ich das Problem,
> durch 0 teilen zu müssen wegen sin(1/z) :S ; oder habe ich
> da was falsch gemacht ?

Du machst jetzt folgendes:

schau in Deinen Unterlagen nach, was man unter einer

    Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm] z_0 [/mm]

versteht.

FRED

>
>  


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