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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mo 22.06.2015 | | Autor: | smoot |
Hallo zusammen,
ich möchte folgende Funktion rücktransformieren, via Partialbruchzerlegung:
L(u)(s) = [mm] \bruch{2(s+1)}{(s^{2}+2s+2)^{2}} [/mm]
Durch Pq- Formel: [mm] s^{2}+2s+2 [/mm] = 0 => s1/2 = -1 [mm] \pm [/mm] j
<=> [mm] \bruch{2}{(s+1+j)(s+1-j)(s+1+j)(s+1-j)}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{A}{(s+1+j)}+\bruch{B}{(s+1-j)}+\bruch{C}{(s+1+j)}+\bruch{D}{(s+1-j)}
[/mm]
Meine Frage:
Wie muss ich jetzt vorgehen, um meine Nenner Nullstellen zusammenzufassen? Enthält der Term dann weiterhin vier Konstanten die zu bestimmen sind oder reichen dann für die weitere Rechnung zwei aus, da die beiden Nullstellen doppelte Nullstellen sind?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 22.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Nullstellen von $ [mm] s^{2}+2s+2 [/mm] $ sind
[mm] $s_1=-1+j$ [/mm] und [mm] $s_2=-1-j$
[/mm]
Dann ist [mm] (s^{2}+2s+2)^2=(s-s_1)^2*(s-s_2)^2. [/mm] Damit lautet der Ansatz
$ [mm] \bruch{2(s+1)}{(s^{2}+2s+2)^{2}}=\bruch{A}{s-s_1} +\bruch{B}{(s-s_1)^2}+\bruch{C}{s-s_2}+\bruch{D}{(s-s_2)^2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 22.06.2015 | | Autor: | smoot |
Kann es sein das ich auf diesem Weg nicht zum Ziel gelange?
Denn wenn ich den Term auflöse bzw. die Konstanten bestimmen möchte bekomme ich:
Ausgehend von:
[mm] A(s+1+j)(s-1-j)^{2} [/mm] + [mm] B(s-1-j)^{2} [/mm] + [mm] C(s-1-j)(s+1+j)^{2} [/mm] + [mm] D(s+1+j)^{2}
[/mm]
für -1 + j;
8j A + 4 B + 8 C - 4 D = 2j
und
für -1 - j;
B = - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Mein Problem ist nun das ich mit der Anzahl der Gleichungen nicht alle Unbekannten bestimmen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Di 23.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Kann es sein das ich auf diesem Weg nicht zum Ziel
> gelange?
>
> Denn wenn ich den Term auflöse bzw. die Konstanten
> bestimmen möchte bekomme ich:
>
> Ausgehend von:
>
> [mm]A(s+1+j)(s-1-j)^{2}[/mm] + [mm]B(s-1-j)^{2}[/mm] + [mm]C(s-1-j)(s+1+j)^{2}[/mm] +
> [mm]D(s+1+j)^{2}[/mm]
>
> für -1 + j;
>
> 8j A + 4 B + 8 C - 4 D = 2j
>
> und
>
> für -1 - j;
>
> B = - [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Mein Problem ist nun das ich mit der Anzahl der Gleichungen
> nicht alle Unbekannten bestimmen kann.
>
>
>
>
>
Wenn ich das richtig sehe, setzt du fuer $s$ die Nullstellen ein, richtig?
Hast du es schonmal allgemeiner mit Koeffizientenvergleich versucht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 23.06.2015 | | Autor: | smoot |
Ja ich habe versucht die Nullstellen einzusetzen.
Die Idee mit dem Koeffizienten vergleich kam mir auch schon, jedoch fehlt mir die Erfahrung mit diesem Verfahren um brauchbare Gleichungen aufzustellen.
Könntest du das Verfahren bezüglich dieser Aufgabe einmal näher erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 23.06.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ja ich habe versucht die Nullstellen einzusetzen.
Du könntest mit der Methode auch weiter machen. Da du weniger verschiedene Nullstellen zur Verfügung hast, als der Grad des Nennerpolynoms beträgt, kannst du dazu übergehen, beliebige Zahlen für s einzusetzen. Du könntest also in deinem Fall auch dein Glück mit s=0 und s=1 versuchen und erhältst so zwei weitere Gleichungen in A, B C und D.
Allerdings ist doch dein Ziel die Rücktransformation in den Zeitbereich, oder?
Ist es wirklich expliziter Teil der Aufgabenstellung, dass das mit Partialbruchzerlegung im Komplexen erfolgen soll? Ich vermute doch wohl eher nicht, oder?
Jeder halbwegs brauchbaren Laplace Trafo-Tabelle entnimmt man
$t*sin(k*t) [mm] \;\circ\frac{\quad}{\quad}\bullet\; \frac{2ks}{{\left(s^2+k^2\right)}^2}$
[/mm]
und den Dämpfungssatz
[mm] $e^{-at}\cdot f(t)\;\circ\frac{\quad}{\quad}\bullet\; [/mm] F(s+a)$
(Den Laplace-Knochen bring ich hier nicht besser hin)
Jetzt musst du doch deinen Ausdruck im Bildbereich nur ganz geringfügig umformen
[mm] $\frac{2\cdot(s+1)}{\left(s^2+2s+2\right)^2}=\frac{2\cdot(s+1)}{\left((s+1)^2+1\right)^2}
[/mm]
um zu erkennen, dass du obiges mit $a=1$ und $k=1$ vorliegen hast und die Rücktransformierte im Zeitbereich daher
[mm] $e^{-t}\cdot [/mm] t [mm] \cdot [/mm] sin(t)$
ist.
Gruß RMix
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