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Forum "Geraden und Ebenen" - Lagebeziehung Gerade und Ebene
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Lagebeziehung Gerade und Ebene: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Sa 16.02.2013
Autor: Fiesta

Aufgabe
Gegeben sind die Ebene E: 2x+z-3=0 und die Gerade [mm] g_t [/mm] mit [mm] x = \begin{pmatrix} 2+t \\ 1 \\ 1+t \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 1+t \\ 1-t \\ t \end{pmatrix}, t \in R [/mm].

Untersuchen Sie die Lagebeziehung bezüglich der Geraden [mm] g_t [/mm] und der Ebene E in Abhängigkeit von t.
Berechnen Sie den Schnittpunkt [mm] S_t [/mm] in Abhängigkeit von t zwischen [mm] g_t [/mm] und E.
Bestimmen Sie das t, für das [mm] g_t [/mm] othogonal zu E verläft.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Sa 16.02.2013
Autor: Diophant

Hallo,


> Gegeben sind die Ebene E: 2x+z-3=0 und die Gerade [mm]g_t[/mm] mit [mm]x = \begin{pmatrix} 2+t \\ 1 \\ 1+t \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 1+t \\ 1-t \\ t \end{pmatrix}, t \in R [/mm].
>
> Untersuchen Sie die Lagebeziehung bezüglich der Geraden
> [mm]g_t[/mm] und der Ebene E in Abhängigkeit von t.
> Berechnen Sie den Schnittpunkt [mm]S_t[/mm] in Abhängigkeit von t
> zwischen [mm]g_t[/mm] und E.
> Bestimmen Sie das t, für das [mm]g_t[/mm] othogonal zu E
> verläft.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Du hast die Frage nirgends gestellt: ich sehe keinerlei Frage, nur eine Aufgabe. Was sind deine bisherigen ÜBerlegungen hierzu?


Gruß, Diophant


Bezug
                
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Sa 16.02.2013
Autor: Fiesta

Ich hab die Geradengleichung in der Ebene eingesetzt. Am Ende kommt raus: 3t+2s+3st=-2
Was müsste ich danach machen?

Bezug
                        
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 16.02.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich hab die Geradengleichung in der Ebene eingesetzt. Am
> Ende kommt raus: 3t+2s+3st=-2
> Was müsste ich danach machen?

Deine Idee war richtig, da sind aber meiner Ansicht nach Rechenfehler. Versuche es nochmal und versuche dann, nach s aufzulösen und zu schauen, für welche t dies überhaupt möglich ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Sa 16.02.2013
Autor: Fiesta

Wenn ich nach s auflöse kommt nun raus: s=-1-1,5t-1,5st
Stimmt das soweit denn?
Danach müsste ich s bei der Geradengleichung einsetzen, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Sa 16.02.2013
Autor: M.Rex


> Wenn ich nach s auflöse kommt nun raus: s=-1-1,5t-1,5st
>  Stimmt das soweit denn?

Nein rechts steht doch auch noch ein s. Schön wäre es, wenn du deine Rechnungen zeigen würdest.

Du hast:
[mm] $2\cdot(2+t+s(1+t))+(1+t+st)-3=0$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4+4t+2s+2st+1+t+st-3=0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 2+5t+2s+3st=0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] (2+3t)s=-5t-2$

Den letzten Schritt schaffst du nun sicher wieder selber. Überlege auch mal, wie Diophant schon sagte, wann du diesen letzten Schritt nicht durchführen darfst. Betrachte dieses t dann mal gesondert. Was für eine besondere Lage ergibst sich für [mm] g_{t} [/mm] und E bei diesem t.

>  Danach müsste ich s bei der Geradengleichung einsetzen,
> oder?

Ja.

Marius


Bezug
                                                
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Sa 16.02.2013
Autor: Fiesta

Ich glaube, dass da ein Fehler vorliegt, denn 2 x t sind doch nicht 4t?
Also bei mir kommt jetzt raus wenn ich s genau so ausklammern würde:
(2+3t)s = -2-3t

Bezug
                                                        
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 16.02.2013
Autor: M.Rex


> Ich glaube, dass da ein Fehler vorliegt, denn 2 x t sind
> doch nicht 4t?

Hast recht

>  Also bei mir kommt jetzt raus wenn ich s genau so
> ausklammern würde:
>  (2+3t)s = -2-3t

Dann wird das ganze Ergebnis für s ja noch schöner.

Marius


Bezug
                                                                
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Sa 16.02.2013
Autor: Fiesta

Super!
also müsste s = -1 sein oder?
wenn ich nun s bei der Geradengleichung einsetze, kommt der Schnittpunkt (1|t|1) raus..

Bezug
                                                                        
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Sa 16.02.2013
Autor: M.Rex


> Super!
> also müsste s = -1 sein oder?

Unter einer Voraussetzung an t, denn du darfst nicht durch Null teilen. Betrachte also das t, bei dem du durch Null teilen würdest, nochmal extra.

>  wenn ich nun s bei der Geradengleichung einsetze, kommt
> der Schnittpunkt (1|t|1) raus..

Das sieht gut aus.

Marius


Bezug
                                                                                
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Sa 16.02.2013
Autor: Fiesta

vielen vielen dank für die Hilfe! :)

Bezug
        
Bezug
Lagebeziehung Gerade und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Sa 16.02.2013
Autor: M.Rex

Hallo


> Gegeben sind die Ebene E: 2x+z-3=0 und die Gerade [mm]g_t[/mm] mit [mm]x = \begin{pmatrix} 2+t \\ 1 \\ 1+t \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 1+t \\ 1-t \\ t \end{pmatrix}, t \in R [/mm].
>  
> Untersuchen Sie die Lagebeziehung bezüglich der Geraden
> [mm]g_t[/mm] und der Ebene E in Abhängigkeit von t.
>  Berechnen Sie den Schnittpunkt [mm]S_t[/mm] in Abhängigkeit von t
> zwischen [mm]g_t[/mm] und E.

Setze g in E ein, löse diese Gleichung dann nach dem Parameter s der Geraden auf, setze diesen dann in g ein, dann kannst du die Gerade zu einem (von t abhängigen Vektor) zusammenfassen.

>  Bestimmen Sie das t, für das [mm]g_t[/mm] othogonal zu E
> verläft.

Der Normalenvektor der Ebene ist doch [mm] \vec{n}=\vektor{2\\0\\1} [/mm]

Bestimme nun das t so, dass der Normalenvektor der Ebene parallel zum Richtungsvektor der Geraden ist.

Marius


Bezug
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