LGS mit Brüchen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:55 Di 20.01.2009 | | Autor: | Ikarus81 |
| Aufgabe | [mm] \bruch{a^{2}}{x+y} [/mm] - [mm] \bruch{b^{2}}{x-y} [/mm] = a-b
[mm] \bruch{a}{x+y} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-y} [/mm] = 2 |
Hallo Miteinander!
Ich hab da (zumindest für meine begrenzten algebraischen Fähigkeiten) eine Knacknuss. Da ich (ob Einsetzungsmethode, Eliminationsverfahren oder Determinantenverfahren) x und y zuerst sortieren muss und dass irgendwie nicht geht, habe ich mich zu einer Substitution entschieden, in dem ich bestimme dass (x+y) c sei und (x-y) gleich d. Letztendlich weiss ich dass x= [mm] y+\bruch{1}{b} [/mm] ist, aber finde, vorausgesetzt es ist wirklich der richtige Ansatz, den Faden nicht.
Danke euch!
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:13 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: multipliziere die 2. Gleichung mit a.
Ich erhalte dann: x = [mm] \bruch{a-b}{2} [/mm] und y = [mm] \bruch{a+b}{2}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 20.01.2009 | | Autor: | Ikarus81 |
Mit a multiplizieren? Entweder ich bin zu dämlich oder dann könntest du etwas übersehen haben. Ich kann doch das Ganze nicht mit a multiplizieren, bzw. es kommt nicht dein Resultat dabei raus...
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Hallo Ikarus,
das Ergebnis kommt auch nicht unmittelbar heraus, aber Freds Tipp ist doch goldrichtig.
Multipliziere die zweite Gleichung mit a, zieh die erste Gleichung davon ab, und Du erhältst y-x=b.
Dann ganz analog: multipliziere die zweite Gleichung mit b, zieh die erste Gleichung davon ab, und Du erhältst x+y=a.
Dieses kleine LGS hat genau die von Fred angegebenen Lösungen.
Allerdings war zwischendurch eine Fallunterscheidung zu machen. Den Fall a=b musst Du nun noch gesondert untersuchen. Da ist die Lösung nicht eindeutig, sondern [mm] x^2+ay-y^2=0. [/mm] Das ist eine hübsche Funktionenschar...
Jetzt rechne das alles mal nach.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Ikarus81 |
Das mit "a multiplizieren" hab ich so irgendwie nicht geschnallt, macht aber nichts, habe weitergeknobelt.
Habe nun Substitutionen für [mm] \bruch{1}{x-y} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x+y} [/mm] gemacht, mit der Determinantenmethode aufgelöst und jeweils nach x und y gleichgestellt. Da es tatsächlich das gleiche Ergebnis wie bei meiner rechenmaschine gegeben hat, wird dieser Weg wohl stimmen. Wäre in diesem Fall auch eine Fallunterscheidung fällig?
Vielen Dank!
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Oh, es gibt sicher noch kompliziertere Methoden. Sie wollen mir nur gerade nicht einfallen. Die Fallunterscheidung wirst Du damit natürlich nicht los, sonst würde sich ja Deine Lösungsmenge ändern. Die ist aber von der Methode völlig unabhängig. Lösung ist Lösung ist Lösung...
Was ist daran schwierig, die zweite Gleichung mit a zu multiplizieren und die erste davon abzuziehen?
Kennst Du lineare Gleichungssysteme - ja, ich sehe auch, dass das Dir vorliegende keins ist. Aber da gibt es doch den ![[]](/images/popup.gif) Gauß-Algorithmus. Genauso geht das hier. Eine Linearkombination von Zeilen führt zur Elimination bestimmter Glieder.
lg,
reverend
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