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Forum "Integration" - Kurvenintegral des Vektorfelds
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Kurvenintegral des Vektorfelds: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 So 16.11.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes [mm] F:\IP^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto (xy^2,x^2y) [/mm] entlang des Weges [mm] \Gamma=\Gamma_{1}+\Gamma_{2} [/mm] wobei [mm] \Gamma_{1} [/mm] die Strecke von (1,1) nach (2,1) und [mm] \Gamma_{2} [/mm] die Strecke von (2,1) nach (2,2) beschreibt. Tun Sie dies sowohl unter Verwendung der Definition des Integraltyps sowie mit Hilfe des Potentials.

Hey,
Also Prinzipiell hab ich die Aufgabe denke ich verstanden.
Sollte sich als erstes mal um ein Kurvenintegral 2. Art handeln oder?
Meine Kurve [mm] \vec{\gamma} [/mm] von Punkt (1,1) nach (2,2) da [mm] \Gamma_{1} [/mm] und [mm] \Gamma_{2} [/mm] addiert werden müssen, also praktisch Vektoraddition.
Komme dementsprechend auf [mm] \vec{\gamma}=\vektor{x\\y} [/mm]

Allerdinsg glaube ich das es falsch ist da [mm] \vec{\gamma} [/mm] nur von t abhängig sein sollte oder?
Zumindest laut Kurvenintegral 2. Art (und auch 1. Art sollte ich mit meiner Vermutung falsch liegen). Weil dort heißt es ja [mm] \integral_{a}^{b}{f(\vec{\gamma}(t))*\bruch{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}dt} [/mm]
Schätze mal die Bildung von [mm] \vec{\gamma} [/mm] läuft anders? Aber wie?



Und zu der Sache mit dem Potential.
Also um ein Gradientenfeld handelt es sich. Dementsprechend gibt es auch ein Potential welches lautet: [mm] p=x^2y^2+c [/mm]
oder?'
Aber wie soll ich damit nun das Kurvenintegral rausbekommen?



        
Bezug
Kurvenintegral des Vektorfelds: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 So 16.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes [mm]F:\IP^2 \to \IR^2,[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto (xy^2,x^2y)[/mm] entlang des Weges
> [mm]\Gamma=\Gamma_{1}+\Gamma_{2}[/mm] wobei [mm]\Gamma_{1}[/mm] die Strecke
> von (1,1) nach (2,1) und [mm]\Gamma_{2}[/mm] die Strecke von (2,1)
> nach (2,2) beschreibt. Tun Sie dies sowohl unter Verwendung
> der Definition des Integraltyps sowie mit Hilfe des Potentials.

> Sollte sich als erstes mal um ein Kurvenintegral 2. Art
> handeln oder?

Ja.

>  Meine Kurve [mm]\vec{\gamma}[/mm] von Punkt (1,1) nach (2,2) da
> [mm]\Gamma_{1}[/mm] und [mm]\Gamma_{2}[/mm] addiert werden müssen, also
> praktisch Vektoraddition.
> Komme dementsprechend auf [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x\\y}[/mm]    [haee]
>  
> Allerdinsg glaube ich das es falsch ist da [mm]\vec{\gamma}[/mm] nur
> von t abhängig sein sollte oder?

Dies bedeutet, dass du eben die Parameterdarstellung(en) für
den beschriebenen Weg brauchst. Für den ersten Abschnitt
lautet die z.B.   x(t)=t , y(t)=1   ( t [mm] \in [/mm] [1...2] ) .


> Zumindest laut Kurvenintegral 2. Art (und auch 1. Art
> sollte ich mit meiner Vermutung falsch liegen). Weil dort
> heißt es ja
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\vec{\gamma}(t))*\bruch{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}dt}[/mm]
>  
> Schätze mal die Bildung von [mm]\vec{\gamma}[/mm] läuft anders?
> Aber wie?

Teile das Integral in seine zwei Summanden auf:

     [mm] $\integral_{t=1}^{2}F\left(\pmat{x_1(t)\\y_1(t)} \right)*\pmat{\dot x_1(t)\\ \dot y_1(t)}\,dt\ [/mm] +\ [mm] \integral_{t=\,...}^{...}F\left(\pmat{x_2(t)\\y_2(t)} \right)*\pmat{\dot x_2(t)\\ \dot y_2(t)}\,dt$ [/mm]



> Und zu der Sache mit dem Potential.
> Also um ein Gradientenfeld handelt es sich. Dementsprechend
> gibt es auch ein Potential welches lautet: [mm]p=x^2y^2+c[/mm]    [haee]
>  oder?'

Das kannst (bzw. solltest) du selber kontrollieren.

>  Aber wie soll ich damit nun das Kurvenintegral
> rausbekommen?

Nach dem []Satz über wegunabhängige Kurvenintegrale
geht's dann rechnerisch ohne Integration.

LG  ,    Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral des Vektorfelds: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 So 16.11.2014
Autor: Teryosas


> Dies bedeutet, dass du eben die Parameterdarstellung(en)
> für
>  den beschriebenen Weg brauchst. Für den ersten Abschnitt
>  lautet die z.B.   x(t)=t , y(t)=1   ( t [mm]\in[/mm] [1...2] ) .
>  

okay dann komme ich auf [mm] \vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1} [/mm] und [mm] \vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t} [/mm]



> > Zumindest laut Kurvenintegral 2. Art (und auch 1. Art
> > sollte ich mit meiner Vermutung falsch liegen). Weil dort
> > heißt es ja
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(\vec{\gamma}(t))*\bruch{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}dt}[/mm]
>  
> >  

> > Schätze mal die Bildung von [mm]\vec{\gamma}[/mm] läuft anders?
> > Aber wie?
>  
> Teile das Integral in seine zwei Summanden auf:
>  
> [mm] \integral_{t=1}^{2}F\left(\pmat{x_1(t)\\y_1(t)} \right)*\pmat{\dot x_1(t)\\ \dot y_1(t)}\,dt\ +\integral_{t=\,...}^{...}F\left(\pmat{x_2(t)\\y_2(t)} \right)*\pmat{\dot x_2(t)\\ \dot y_2(t)}\,dt [/mm]
>  

okay dann komme ich so jetzt auf
[mm] \integral_{1}^{2}{\vektor{t\\t^2}*\vektor{1\\0}dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{tdt} [/mm] = 1,5
und
[mm] \integral_{1}^{2}{\vektor{t^2\\t}*\vektor{0\\1}dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{tdt} [/mm] = 1,5

Also auf insgesamt 1,5+1,5=3
richtig so?


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral des Vektorfelds: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 16.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> > Dies bedeutet, dass du eben die Parameterdarstellung(en)
> > für
>  >  den beschriebenen Weg brauchst. Für den ersten
> Abschnitt
>  >  lautet die z.B.   x(t)=t , y(t)=1   ( t [mm]\in[/mm] [1...2] )
> .
>  >  
> okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]     [notok]

Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
nochmals genau !  Und gib zu jeder Parametrisierung
immer das Intervall für den Parameter an.

> > Teile das Integral in seine zwei Summanden auf:
>  >  
> > [mm]\integral_{t=1}^{2}F\left(\pmat{x_1(t)\\y_1(t)} \right)*\pmat{\dot x_1(t)\\ \dot y_1(t)}\,dt\ +\integral_{t=\,...}^{...}F\left(\pmat{x_2(t)\\y_2(t)} \right)*\pmat{\dot x_2(t)\\ \dot y_2(t)}\,dt[/mm]
>  
> >  

>
> okay dann komme ich so jetzt auf
> [mm]\integral_{1}^{2}{\vektor{t\\t^2}*\vektor{1\\0}dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{2}{tdt}[/mm] = 1,5     [ok]

> und
> [mm]\integral_{1}^{2}{\vektor{t^2\\t}*\vektor{0\\1}dt}[/mm]     [notok]    (Folgefehler)

Das musst du mit der richtigen Parametrisierung
neu durchrechnen.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                                
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Kurvenintegral des Vektorfelds: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 So 16.11.2014
Autor: Teryosas


> > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]     [notok]
>  
> Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> nochmals genau !  Und gib zu jeder Parametrisierung
>  immer das Intervall für den Parameter an.

echt nicht? :o
Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher komme ich auf
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [1...2]
Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach (2,2) gehe komm ich auf
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t} [/mm]  für t [mm] \in [/mm] [1...2]

warum stimmt das denn nicht?

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Kurvenintegral des Vektorfelds: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 16.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Teryosas,

> > > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]     [notok]
>  >  
> > Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> > nochmals genau !  Und gib zu jeder Parametrisierung
>  >  immer das Intervall für den Parameter an.
>  
> echt nicht? :o
> Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher
> komme ich auf
> [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
>  Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach (2,2)
> gehe komm ich auf
>  [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t}[/mm]  für t [mm]\in[/mm] [1...2]
>  
> warum stimmt das denn nicht?


Weil der Ausgangspunkt (2,1) ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral des Vektorfelds: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 So 16.11.2014
Autor: Teryosas


> Hallo Teryosas,
>  
> > > > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > > > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]     [notok]
>  >  >  
> > > Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> > > nochmals genau !  Und gib zu jeder Parametrisierung
>  >  >  immer das Intervall für den Parameter an.
>  >  
> > echt nicht? :o
> > Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher
> > komme ich auf
> > [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
>  >  Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach
> (2,2)
> > gehe komm ich auf
>  >  [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t}[/mm]  für t [mm]\in[/mm]
> [1...2]
>  >  
> > warum stimmt das denn nicht?
>
>
> Weil der Ausgangspunkt (2,1) ist.

Ahhhh ich glaub ich habs.
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{x(t)=2\\y(t)=t} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [1...2] ??


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Bezug
Kurvenintegral des Vektorfelds: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 16.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Teryosas,

> > Hallo Teryosas,
>  >  
> > > > > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > > > > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]     [notok]
>  >  >  >  
> > > > Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> > > > nochmals genau !  Und gib zu jeder Parametrisierung
>  >  >  >  immer das Intervall für den Parameter an.
>  >  >  
> > > echt nicht? :o
> > > Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher
> > > komme ich auf
> > > [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
>  >  >  Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach
> > (2,2)
> > > gehe komm ich auf
>  >  >  [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t}[/mm]  für t [mm]\in[/mm]
> > [1...2]
>  >  >  
> > > warum stimmt das denn nicht?
> >
> >
> > Weil der Ausgangspunkt (2,1) ist.
>  Ahhhh ich glaub ich habs.
>  [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=2\\y(t)=t}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
> ??
>  


Das stimmt.  [ok]

Gruss
MathePower

Bezug
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