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Kurvendiskussion: exp.fkt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Sa 20.05.2006
Autor: Kulli

Hey!
Ich muss wiedermal ne Kurvendiskussion machen :-)
Diesmal von

f(x) = [mm] \bruch{2x}{t}*e^{t*x} [/mm]

Dafür hab ich:

1.Definitionsbereich:

D = R

2. Symmetrie:

f(-x)=- [mm] \bruch{2x}{t}*e^{-t*x} \not=f(x) [/mm] , deshalb keine Achsensymmetrie!

-f(x)=- [mm] \bruch{2x}{t}*e^{t*x} \not=f(x) [/mm] , deshalb auch keine Punktsymmetrie!

3. Achsenabschnittpunkte:
x-Achse:
f(x)=0
[mm] \bruch{2x}{t}*e^{t*x} [/mm] = 0     [mm] |:e^{t*x} [/mm]
[mm] \bruch{2x}{t} [/mm] = 0     |:t
2x = 0    |:2
x=o   -> NST bei (0|0)

y-Achse:
f(0)= [mm] \bruch{2*0}{t}*e^{t*0} [/mm]
= 0*1
=0     -> y-Achsenschnittpunkt bei (0|0)

4. Ableitungen:

f(x)= [mm] \bruch{2x}{t}*e^{t*x} [/mm]

f'(x)= [mm] \bruch{2x}{t}*e^{x}*0 [/mm] + [mm] (0+x+t^{-1})*e^{t*x} [/mm]
= [mm] 0*(x+t^{-1})*e^{t*x} [/mm]
= [mm] x*e^{t*x}+ \bruch{e^{t*x}}{t} [/mm]

f''(x)= [mm] (x*e^{x}*0+1*e^{t*x})+(e^{x}*0*t-e^{t*x}*0) [/mm]
[mm] =e^{t*x} [/mm]

(Naja und da hab ich dann schon irgednwie das Gefühl, dass das nciht soo ganz hinhaut, deshalb hab ichs mit der 3. erstmal gelassen :-) )


Und dann die Extrema:

f'(x)=0

[mm] x*e^{t*x} [/mm] +  [mm] \bruch{e^{t*x}}{t} [/mm] = 0

Und wie kann ich das weiter auflösen? :-/
Also wie ihr seht komm ich hier nicht weiter, wär nett wenn mir jmd. weiterhelfen kann!


        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Sa 20.05.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Kulli,


Ich denke, bis hier stimmte alles. Also kommen wir gleich zum "Stolperstein":


> 4. Ableitungen:
>  
> f(x)= [mm]\bruch{2x}{t}*e^{t*x}[/mm]
>  
> f'(x)= [mm]\bruch{2x}{t}*e^{x}*0[/mm] + [mm](0+x+t^{-1})*e^{t*x}[/mm]


Ich nehme an, du wolltest hier die Produktregel anwenden? Jedenfalls kann ich diesen Ansatz nicht nachvollziehen. Es gilt doch:


[mm]f(x) := \underbrace{\frac{2x}{t}}_{=:u(x)}\cdot{\underbrace{e^{tx}}_{=:v(x)}}[/mm]


Und die Produktregel der Ableitung lautet damit:


[mm]f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)[/mm]


Jetzt berechnen wir mal die Bestandteile einzeln:


[mm]u'(x) = \frac{\partial}{\partial x}\frac{2x}{t} = \frac{2}{t}[/mm]

[mm]v'(x) = \frac{\partial}{\partial x}e^{tx} = te^{tx}[/mm] nach der Kettenregel.


Einsetzen in die obige Formel ergibt die Ableitung von [mm]f(x)[/mm]. Danach löst du die entstandene Gleichung [mm]\dots = 0[/mm] nach [mm]x[/mm] auf. Als Tipp: [mm]e^{tx}[/mm] ist immer positiv. Also kannst du diesen Teil der Ableitung wie eine Konstante [mm]K > 0[/mm] behandeln... .



Gruß
Karl





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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Sa 20.05.2006
Autor: Kulli


>
> [mm]u'(x) = \frac{\partial}{\partial x}\frac{2x}{t} = \frac{2}{t}[/mm]
>  
> [mm]v'(x) = \frac{\partial}{\partial x}e^{tx} = te^{tx}[/mm] nach
> der Kettenregel.


was beudetet dieses zeichen vor dem 2x und so??

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Sa 20.05.2006
Autor: Fulla

hi kulli!

das zeichen [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] steht einfach für die ableitung nach x...

man könnte auch schreiben:
[mm] u'(x)=\left(\bruch{2x}{t}\right)'=\bruch{2}{t} [/mm]

lieben gruß,
Fulla

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:30 Sa 20.05.2006
Autor: Kulli

alllso dann hab ich für die 1 ableitung
[mm] \bruch{2*e^{t*x}}{t}+2*x*e^{t*x} [/mm]

für die 2. hab ich dann
[mm] 4e^{t*x}+2*x*t*e^{t*x} [/mm]

und für die 3.
[mm] 6*t*e^{t*x}+2*t²*x*e^{t*x} [/mm]

dann hab ich fürs min. ( [mm] \bruch{-1}{t}| \bruch{-2}{t²}* \bruch{1}{e}) [/mm]

und für die Wendestelle ( [mm] \bruch{2}{t}| \bruch{4}{t²}*e²) [/mm]


is das richtig? :-/




und wie ist das mit den asymptoten bzw verhalten gegen unendlich?

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] da geht 2x/t doch gegen unendlcih, [mm] e^{t*x} [/mm] auch, also das ganze gegen unendlich?

bei  [mm] \limes_{x\rightarrow\ - \infty} [/mm] geht 2x/t gegen - unendlich und [mm] e^{t*x} [/mm] gegen 0 und das ganze dann?

und bei  [mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] geht 2x/t geegn 0 und [mm] e^{t*x} [/mm] gegen 1 und da dann das ganze?

hoffe mir kann jmd die letzten fragen beatnworten!

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 So 21.05.2006
Autor: Sigrid

Hallo Kulli,

> alllso dann hab ich für die 1 ableitung
>   [mm]\bruch{2*e^{t*x}}{t}+2*x*e^{t*x}[/mm]
>  
> für die 2. hab ich dann
>  [mm]4e^{t*x}+2*x*t*e^{t*x}[/mm]
>  
> und für die 3.
>  [mm]6*t*e^{t*x}+2*t²*x*e^{t*x}[/mm]

[ok]

>  
> dann hab ich fürs min. ( [mm]\bruch{-1}{t}| \bruch{-2}{t²}* \bruch{1}{e})[/mm]

[ok]

>  
> und für die Wendestelle ( [mm]\bruch{2}{t}| \bruch{4}{t²}*e²)[/mm]
>  

Hier hab ich für die Nullstelle der 2.Abl.
$ x = - [mm] \bruch{2}{t} [/mm] $

>

>  
>
>
> und wie ist das mit den asymptoten bzw verhalten gegen
> unendlich?
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] da geht 2x/t doch gegen
> unendlcih, [mm]e^{t*x}[/mm] auch, also das ganze gegen unendlich?

[ok]

>  
> bei  [mm]\limes_{x\rightarrow\ - \infty}[/mm] geht 2x/t gegen -
> unendlich und [mm]e^{t*x}[/mm] gegen 0 und das ganze dann?

gegen 0. (Du kannst das mit Hilfe der Regel von L'Hospital zeigen, falls ihr die überhaupt schon hattet.)

>  
> und bei  [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] geht 2x/t geegn 0 und
> [mm]e^{t*x}[/mm] gegen 1 und da dann das ganze?

Wozu brauchst du diese Rechnung? Die Funktion ist doch stetig, damit ist der Grenzwert in jedem Fall f(0), also 0.

Gruß
Sigrid

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 So 21.05.2006
Autor: Kulli


> > und wie ist das mit den asymptoten bzw verhalten gegen
> > unendlich?
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] da geht 2x/t doch gegen
> > unendlcih, [mm]e^{t*x}[/mm] auch, also das ganze gegen unendlich?
>  
> [ok]
>  >  
> > bei  [mm]\limes_{x\rightarrow\ - \infty}[/mm] geht 2x/t gegen -
> > unendlich und [mm]e^{t*x}[/mm] gegen 0 und das ganze dann?
>  
> gegen 0. (Du kannst das mit Hilfe der Regel von L'Hospital
> zeigen, falls ihr die überhaupt schon hattet.)
>  >  
> > und bei  [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] geht 2x/t geegn 0 und
> > [mm]e^{t*x}[/mm] gegen 1 und da dann das ganze?
>  
> Wozu brauchst du diese Rechnung? Die Funktion ist doch
> stetig, damit ist der Grenzwert in jedem Fall f(0), also
> 0.
>  

Ich versteh die letzten beiden Begründungen irgendwie nicht :-/ L'Hospital geht doch nur bei einer Division, oder nicht? Dann geht der zähler doch gegen null und der nenner ist t. das sind doch nciht die gleichen grenzwerte dann darf ich L´Hospital ja nicht anwenden oder?

und wieso gilt die begründung mit stetig?
was is denn dann die asymptote? Null?
sorry das thema hab ich noch nich gut verstanden :-/

achja, für die ortskurven habe ich noch was gerechnet:
für die der tiefpunkte: y=-2x²* [mm] \bruch{1}{e} [/mm]
und für die der wendepunkte: y= [mm] \bruch{4}{x²}*e² [/mm]

gruß,kulli

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Mo 22.05.2006
Autor: Sigrid

Hallo kulli,

> > > und wie ist das mit den asymptoten bzw verhalten gegen
> > > unendlich?
>  >  >  
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] da geht 2x/t doch gegen
> > > unendlcih, [mm]e^{t*x}[/mm] auch, also das ganze gegen unendlich?
>  >  
> > [ok]
>  >  >  
> > > bei  [mm]\limes_{x\rightarrow\ - \infty}[/mm] geht 2x/t gegen -
> > > unendlich und [mm]e^{t*x}[/mm] gegen 0 und das ganze dann?
>  >  
> > gegen 0. (Du kannst das mit Hilfe der Regel von L'Hospital
> > zeigen, falls ihr die überhaupt schon hattet.)
>  >  >  
> > > und bei  [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] geht 2x/t geegn 0 und
> > > [mm]e^{t*x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

gegen 1 und da dann das ganze?

>  >  
> > Wozu brauchst du diese Rechnung? Die Funktion ist doch
> > stetig, damit ist der Grenzwert in jedem Fall f(0), also
> > 0.
>  >  
>
> Ich versteh die letzten beiden Begründungen irgendwie nicht
> :-/ L'Hospital geht doch nur bei einer Division, oder
> nicht? Dann geht der zähler doch gegen null und der nenner
> ist t. das sind doch nciht die gleichen grenzwerte dann
> darf ich L´Hospital ja nicht anwenden oder?

richtig, aber du kannst deine Funktion so umschreiben, dass die Voraussetzungen von L'Hospital erfüllt sind:

$ f(x) = \bruch{2x}{t} e^{tx} =- \bruch{2x}{- t e^{-tx} $

Übrigens musst du dir noch berlegen, ob deine Argumentation auch für negatives t gilt. In der Aufgabenstellung war ja nicht t>0 vorausgesetzt.

>  
> und wieso gilt die begründung mit stetig?
>  was is denn dann die asymptote? Null?
>  sorry das thema hab ich noch nich gut verstanden :-/

Für x gegen 0 gibt es keine Asymptote. 0 ist ja auch keine Definitionslücke.

>  
> achja, für die ortskurven habe ich noch was gerechnet:
>  für die der tiefpunkte: y=-2x²* [mm]\bruch{1}{e}[/mm]

[ok]

>  und für die der wendepunkte: y= [mm]\bruch{4}{x²}*e²[/mm]

Hier habe ich was anderes. Hast du deine Wendestelle nochmal überprüft?

Gruß
Sigrid

>  


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