Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | A1:
Berechnen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(2k)^{k}}{k!}*z^{k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=2}^{\infty}(ln*ln k)*z^{k} [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir da jemand Tipps geben wie man da dran gehen soll? In unserem Skript ist das nicht so super erklärt.
Vg
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> A1:
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> Berechnen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen:
>
> a) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(2k)^{k}}{k!}*z^{k}[/mm]
Das soll wohl so lauten: [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2k)^{k}}{k!}*z^{k}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{i=2}^{\infty}(ln*ln k)*z^{k}[/mm]
Ebenso : k statt i.
> Hallo zusammen,
>
> kann mir da jemand Tipps geben wie man da dran gehen soll?
> In unserem Skript ist das nicht so super erklärt.
Bei a) kannst Du den Konvergenzradius wie folgt berechnen:
[mm] \lim_{k \rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{k}}{a_{k+1}} \bigg| [/mm]
wobei [mm] a_k=\bruch{(2k)^{k}}{k!}.
[/mm]
Mit b) beschäftige ich mich erst, wenn Du geklärt has, was
$ln*ln k$
bedeutet. Vielleicht $ln(ln(k))$ oder auch nicht ?
FRED
>
> Vg
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich habe den Prof nochmal eine Email geschrieben bezüglich der b). Aber leider kam noch nix.
Ich habe es jetzt mit deinem Vorschlag versucht, also ln(ln(k)):
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}= [/mm] | [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] | = | [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{k}} [/mm] | = | [mm] \bruch{1}{1+0} [/mm] | = 1
stimmt das so?
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ich habe den Prof nochmal eine Email geschrieben bezüglich
> der b). Aber leider kam noch nix.
>
> Ich habe es jetzt mit deinem Vorschlag versucht, also
> ln(ln(k)):
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}=[/mm] | [mm]\bruch{k}{k+1}[/mm] | = |
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}[/mm] | = | [mm]\bruch{1}{1+0}[/mm] | = 1
>
> stimmt das so?
Nee. Was hat das mit b) zu tun ?
FRED
>
> Vg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
in der Aufgabe b) habe ich doch die Potenzreihe gehabt:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty}(ln\cdot{}ln k)\cdot{}z^{k}
[/mm]
und da hast du doch mich gefragt, ob es ln(ln(k)) sein kann? Ich habe bis jetzt leider vom Prof keine Antwort bekommen, und da habe ich jetzt deinen Vorschlag genommen.
und dann habe ich mit der Formel, die du mir für die a) gegeben hast gerechnet und da hab ich das obige Ergebnis raus bekommen.
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> in der Aufgabe b) habe ich doch die Potenzreihe gehabt:
>
> [mm]\summe_{i=2}^{\infty}(ln\cdot{}ln k)\cdot{}z^{k}[/mm]
>
> und da hast du doch mich gefragt, ob es ln(ln(k)) sein
> kann? Ich habe bis jetzt leider vom Prof keine Antwort
> bekommen, und da habe ich jetzt deinen Vorschlag genommen.
>
> und dann habe ich mit der Formel, die du mir für die a)
> gegeben hast gerechnet und da hab ich das obige Ergebnis
> raus bekommen.
Hä ? Nichts dergleichen hast Du getan ! Du hast geschrieben:
"
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}= [/mm] $ | $ [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] $ | = | $ [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{k}} [/mm] $ | = | $ [mm] \bruch{1}{1+0} [/mm] $ | = 1 "
Was hat das mit dem Quotienten
[mm] \bruch{\ln(\ln(k))}{\ln(\ln(k+1))}
[/mm]
zu tun ?????
FRED
>
> Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Zur Potenzreihe $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(ln(ln(k) ))\cdot{}z^{k} [/mm] $:
Es ist also [mm] a_k=ln(ln(k)) [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 2.
Ich denke, dass man mit den gängigen Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius Unanehmlichkeiten hat.
Daher mach ich das anders:
1. für x>0 ist ln(x) [mm] \le [/mm] x, also haben wir
[mm] $a_k [/mm] =ln(ln(k)) [mm] \le [/mm] ln(k) [mm] \le [/mm] k$.
Ist nun |z|<1, so ist [mm] |a_k*z^k| \le k|z|^k
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty}k|z|^k [/mm] ist konvergent, somit konvergiert die gegebene Potenzreihe für |z|<1.
2. Sei z=1. Die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty}a_k [/mm] ist divergent, denn [mm] (a_k) [/mm] ist keine Nullfolge.
Fazit: der gesuchte Konvergenzradius =1.
FRED
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