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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzbereich
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Konvergenzbereich: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Sa 07.07.2007
Autor: christoph21

Aufgabe
Man bestimme den Konvergenzbereich und das Verhalten am Rande für folgende Potenzreihe:
(x + 1) + [mm] \bruch{ 1! }{ 2^{2} } [/mm] * (x + [mm] 1)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2!}{ 3^{3} } [/mm] * (x + [mm] 1)^{3} [/mm] + [mm] \bruch{3!}{4^{4}} *(x+1)^{4}+..... [/mm]

Hi, kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen
also das ist doch:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(n-1)!}{n^{n}} *(x+1)^{n} [/mm]

und (n-1)!= n!/n
somit folgt:

[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(n)!}{n^{n+1}} *(x+1)^{n} [/mm]
ist das so richtig?
Wenn ich jetzt den Konvergenzradius berechnen will komm ich aber auf kein Ergebnis:

[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{ a_{n} }{ a_{n+1} }| [/mm] =.....= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{ (n+1)^{n} }{ n^{n+1} }| [/mm]

Meine Frage ist jetzt ob das bisher soweit alles richtig ist und wie ich jetzt auf eine Lösung kommen kann.
Vielen Dank im voraus!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Sa 07.07.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Christoph,

das passt nicht ganz, du hast irgendwo ein n+1 vergessen einzubauen ;-)

Also [mm] \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{(n-1)!}{n^n}\frac{(n+1)^{\red{n+1}}}{n!}=\frac{(n-1)!}{n^n}\frac{(n+1)^{n+1}}{n(n-1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n\cdot{}n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} [/mm]


Und das strebt für [mm] n\to\infty [/mm] gegen....


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konvergenzbereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Sa 07.07.2007
Autor: christoph21

Jetzt ists einfacher,
Danke für die schnelle Antwort!

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