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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mi 01.01.2014
Autor: Schuricht

Aufgabe
Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:

a) [2 Punkte] [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n^5+n^2-1}} [/mm]

b) [2 Punkte] [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{7^n} \vektor{3n \\ n}. [/mm]


Ich rechne jetzt schon sehr lange hin und her. Ich komme jedoch auf keinen richtigen Ansatz bei diesen beiden Aufgaben. Ewentuell kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Mi 01.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:
>  
> a) [2 Punkte] [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n^5+n^2-1}}[/mm]
>  
>  
> b) [2 Punkte] [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{7^n} \vektor{3n \\ n}.[/mm]
>  
> Ich rechne jetzt schon sehr lange hin und her. Ich komme
> jedoch auf keinen richtigen Ansatz bei diesen beiden
> Aufgaben. Ewentuell kann mir jemand helfen?

Welche Konvergenzkriterien hattet ihr bereits?
Wende diese hier an und zeig uns deine Rechnungen.

Tipp:

Bemühe bei b) zunächst den Binomialkoeffizienten, kürze und nutze danach ein Konvergenzkriterium.

Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mi 01.01.2014
Autor: Schuricht

Wir hatten: Cauchyk., Wurzelk., Quotientenk., Majorantenk. und Leipnitzk.

Diese Idee hatte ich bei b) schon:

[mm] \bruch{(2n)!(3n+3)!}{7(n+1)(2n+2)!(3n)!}. [/mm] An dieser Stelle weiß ich jetzt nicht weiter.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Mi 01.01.2014
Autor: DieAcht


> Wir hatten: Cauchyk., Wurzelk., Quotientenk.,Majorantenk. und Leipnitzk.

In deiner Aufgabe steht, dass du die Reihen auf Konvergenz überprüfen sollst.
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz,
sodass du im Grunde alle eure Konvergenzkriterien benutzen kannst.

>  
> Diese Idee hatte ich bei b) schon:
>  
> [mm]\bruch{(2n)!(3n+3)!}{7(n+1)(2n+2)!(3n)!}.[/mm] An dieser Stelle
> weiß ich jetzt nicht weiter.

[ok]

Schreibe auch immer was du benutzt!

Du hast hier den Binomialkoeffizienten benutzt und überprüfst die Reihe auf absoluter Konvergenz durch das Quotientenkriterium!

Tipp: $(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)$

Übertrage das auch für $(3n+3)!$, kürze nochmal und betrachte den Grenzwert [mm] n\rightarrow\infty. [/mm]

DieAcht

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Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 01.01.2014
Autor: Schuricht

Vielen Dank, dass wäre jetzt meine Lösung zu b):

Weil gilt: [mm] ((3n+3)!=(3n)!+(3n+1)^2) \wedge ((2n+2)!=(2n)!+(2n+1)^2) [/mm] folgt nach vielen Schritten:

[mm] \bruch{\bruch{9}{n}+\bruch{6}{n^2}+\bruch{1}{n^3}}{28+\bruch{56}{n}\bruch{35}{n^2}\bruch{7}{n^3}}\to [/mm] 0<1 für n [mm] \to \infty [/mm]

[mm] \Rightarrow \exists [/mm] q: [mm] ||\bruch{a_(k+1)}{a_k}||<=q=0<1 \Rightarrow [/mm] Konvergenz der Reihe.

Ist das so richtig argumentiert? Kann dieses q auch Null sein? Und welches Kriterium eignet sich für a)?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mi 01.01.2014
Autor: DieAcht


> Vielen Dank, dass wäre jetzt meine Lösung zu b):
>  
> Weil gilt: [mm]((3n+3)!=(3n)!+(3n+1)^2) \wedge ((2n+2)!=(2n)!+(2n+1)^2)[/mm]

Wie kommst du auf die Addition?

$(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)$
$(3n+3)!=(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)$

> folgt nach vielen Schritten:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{9}{n}+\bruch{6}{n^2}+\bruch{1}{n^3}}{28+\bruch{56}{n}\bruch{35}{n^2}\bruch{7}{n^3}}\to[/mm]
> 0<1 für n [mm]\to \infty[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] q: [mm]||\bruch{a_(k+1)}{a_k}||<=q=0<1 \Rightarrow[/mm]
> Konvergenz der Reihe.

So wie es dort steht ist es falsch.
Mach es nochmal.

> Kann dieses q auch Null sein?

Ja.

> Und welches Kriterium eignet sich für a)?

Vermutest du Konvergenz oder Divergenz?


DieAcht

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Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mi 01.01.2014
Autor: Schuricht

zu b): Okay, das Ganze konvergiert gegen [mm] \bruch{27}{28}<1 \Subseteq [/mm] Konvergenz.

zu a): Wir sollen die Konvergenz begründen, also ist die Reihe sicher konvergent, ich weiß nur nicht, welches Kriterium das Beste ist.

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mi 01.01.2014
Autor: DieAcht


> zu b): Okay, das Ganze konvergiert gegen [mm]\bruch{27}{28}<1 \Subseteq[/mm]
> Konvergenz.

[ok]

>  
> zu a): Wir sollen die Konvergenz begründen, also ist die
> Reihe sicher konvergent, ich weiß nur nicht, welches
> Kriterium das Beste ist.

Ja, du hast Recht. Ich habe mich verlesen.

Tipp: Majorantenkriterium.

DieAcht

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mi 01.01.2014
Autor: Schuricht

Okay:

[mm] ||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty \Rightarrow [/mm] Reihe konvergiert.

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Mi 01.01.2014
Autor: DieAcht


> Okay:
>  
> [mm]||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to[/mm]
> 0 für n [mm]\rightarrow \infty \Rightarrow[/mm] Reihe konvergiert.

Übrigens:

[mm] a_n:=\bruch{n+1}{n^5+n^2-1} [/mm] ist zwar eine Nullfolge, aber das ist nur ein notwendiges und
kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz!

Betrag geht übrigens so: $|a|$

DieAcht

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mi 01.01.2014
Autor: Schuricht

Wieso sollte das nicht reichen? Das Majorantenkriterium besagt doch: Wenn die Summanden von [mm] a_k [/mm] ab einem bestimmten Index [mm] k_0 [/mm] betragsmäßig durch die Summanden von [mm] \alpha_k [/mm] dominiert werden und [mm] \sum \alpha_k [/mm] zusätzlich konvergiert. Dann konvergiert auch [mm] \sum a_k. [/mm]

Ich habe doch ein [mm] \alpha_k [/mm] := [mm] \bruch{n+1}{n^5+n^2-1} [/mm] gefunden, welches zum Einen konvergiert und zum Anderen betragsmäßig stets größer ist, als [mm] a_k [/mm] := [mm] \sqrt{\alpha_k}. [/mm] Daraus folgt doch nun, laut dem Majorantenkriterium Konvergenz. Wieso sollte es also völliger Blödsinn sein?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Gegenfragen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Mi 01.01.2014
Autor: Loddar

Hallo Schuricht!


Ist denn hier eindeutig geklärt, ob [mm] $\summe\alpha_{\red{n}}$ [/mm] mit [mm] $\alpha_{\red{n}} [/mm] := [mm] \bruch{n+1}{n^5+n^2-1}$ [/mm] überhaupt konvergiert?


Zudem musst Du auch ein [mm] $\alpha_n$ [/mm] finden mit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \alpha_n$ [/mm] , um daraus auf Konvergenz von [mm] $\summe a_n$ [/mm] schließen zu können.


Und dann wurde auch bereits angedeutet, dass für [mm] $\left|a_n\right| [/mm] \ < \ 1$ eben nicht gilt: [mm] $\wurzel{a_n} [/mm] \ le \ [mm] a_n$ [/mm] .


Somit hast Du hier bislang in keinster Weise die Konvergenz der o.g. Reihe nachgewiesen.


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mi 01.01.2014
Autor: DieAcht


> Okay:
>  
> [mm]||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to[/mm]
> 0 für n [mm]\rightarrow \infty \Rightarrow[/mm] Reihe konvergiert.

[notok]

Für $n>1$ gilt:

      [mm] 0<\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}<1 [/mm]

Für [mm] x\in(0,1)\subset\IR [/mm] gilt:

      [mm] \sqrt{x}>x [/mm]

Nehme als Beispiel [mm] x:=\frac{1}{4}, [/mm] dann gilt:

      [mm] \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}>\frac{1}{4} [/mm]

DieAcht

Bezug
                                                                        
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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mi 01.01.2014
Autor: abakus


> Okay:

>

> [mm]||\bruch{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}||=\sqrt{\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}}\le\bruch{n+1}{n^5+n^2-1}\to[/mm]
> 0 für n [mm]\rightarrow \infty \Rightarrow[/mm] Reihe konvergiert.

Hallo,
für eine Majorante suchst du größere Brüche als die vorhandenen.
Ein Bruch wird größer, wenn man den Zähler vergrößert oder den Nenner verkleinert odere beides tut.
 Vergrößere doch einfach in der oberen Wurzel (n+1) auf 2n, und verkleinere die untere Wurzel durch Weglassen von n²-1.
Gruß Abakus

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Sa 04.01.2014
Autor: hamude

Wie vergrößert bzw verkleinert man den Bruch dann so genau?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht


> Wie vergrößert bzw verkleinert man den Bruch dann so
> genau?

Das hat dir abakus genau geschrieben!

DieAcht

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Tut mir leid, aber ich habe nicht gemerkt, dass du nicht der Fragesteller bist.

Wenn du noch eine Frage dazu hast, dann stell sie ruhig!


Schönen Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Sa 04.01.2014
Autor: hamude

Kein Problem^^

Mich interessieren die Schritte zum verändern vom Nenner bzw. Zähler, ich verstehe nicht ganz so genau wie abakus das meint.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Wir machen den Zähler größer, damit wird der Bruch insgesamt größer:

      [mm] \sqrt{n+1}<\sqrt{n+n}=\sqrt{2n}=\sqrt{2n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{>0} [/mm]

Wir machen den Nenner kleiner, damit wird der Bruch auch insgesamt größer:

      [mm] \sqrt{n^5+n^2-1}>\sqrt{n^5} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{>1} [/mm]

Damit gilt:

      [mm] \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}}<\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n^5}} [/mm]

Kommst du nun weiter?


DieAcht

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:36 So 05.01.2014
Autor: hamude

Ja so Ansatzweise.
Darf ich das einfach so umformen wie du es geschrieben hast?

Um weiter zu machen, soll man nun [mm] \bruch{\wurzel{2n}}{\wurzel{x^{5}}} [/mm] kürzen und dann gegen unendlich laufen lassen?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:38 So 05.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Ja so Ansatzweise.
>  Darf ich das einfach so umformen wie du es geschrieben
> hast?

Ja, wieso nicht?

Ziel ist es eine Majorante zu finden, die konvergiert.

>  
> Um weiter zu machen, soll man nun
> [mm]\bruch{\wurzel{2n}}{\wurzel{x^{5}}}[/mm] kürzen

Kleiner Tippfehler, denn es du betrachtest:

      [mm] \bruch{\wurzel{2n}}{\wurzel{n^{5}}} [/mm]

[ok]

> und dann gegen unendlich laufen lassen?

[notok]

Siehe oben.


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 01.01.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:
>  
> a) [2 Punkte] [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n^5+n^2-1}}[/mm]

nur mal als Hinweis: Du kannst Dich hier an dem orientieren, was ich nach
dem P.S.

    hier (klick!)

geschrieben habe. Die Konvergenz der obigen Reihe folgt mit diesem
Kriterium direkt, wenn man sie mit

    [mm] $\sum \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^5}}=\sum \frac{1}{\sqrt{n^4}}=\sum \frac{1}{n^2}$ [/mm]

vergleicht - letzte Reihe konvergiert.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Mi 01.01.2014
Autor: Marcel

P.S. Ich glaube, den erwähnte Satz findet man im Heuser unter dem Begriff

    Grenzwertkriterium (für Reihen).

Das kann man aber auch nochmal nachschlagen...

Bezug
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