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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe e Funktion
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Komplexe e Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:51 Sa 24.01.2009
Autor: tunetemptation

Hallo,
solle zeigen dass $ [mm] e^{\overline{z}}=\overline{e^{z}} [/mm] $ und ob das auch für cos $ [mm] \overline{z}=\overline{cos(z)} [/mm] $ gilt.

Keine Ahnung.
HILFE

Habe diese  Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
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Komplexe e Funktion: erste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Sa 24.01.2009
Autor: Loddar

Hallo tunetemptation!


Beginne wie gewohnt:
[mm] $$e^{\overline{z}} [/mm] \ = \ [mm] \exp(\overline{z}) [/mm] \ = \ [mm] \exp(\overline{a+b*i}) [/mm] \ = \ [mm] \exp(a-b*i) [/mm] \ = \ [mm] \exp(a)*\exp(-b*i) [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\overline{e^z} [/mm] \ = \ [mm] \overline{\exp(z)} [/mm] \ = \ [mm] \overline{\exp(a+b*i)} [/mm] \ = \ [mm] \overline{\exp(a)*\exp(b*i)} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


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Komplexe e Funktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:10 Sa 24.01.2009
Autor: tunetemptation

Hallo,
danke schon mal.

Ja aber ich erhalte für [mm] e^{\overline{z}} [/mm] : [mm] e^a*cos(b)-e^a*sin(b)*i [/mm]
und für [mm] \overline{e^z}: -e^a*cos(b)-e^a*sin(b)*i [/mm]
Aber ich glaube mein Ansatz für [mm] \overline{e^z} [/mm] ist falsch oder ?

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Komplexe e Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Sa 24.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Ja aber ich erhalte für [mm]e^{\overline{z}}[/mm] :
> [mm]e^a*cos(b)-e^a*sin(b)*i[/mm]
>  und für [mm]\overline{e^z}: -e^a*cos(b)-e^a*sin(b)*i[/mm]
>  Aber ich
> glaube mein Ansatz für [mm]\overline{e^z}[/mm] ist falsch oder ?

Hallo,

schreib das, was Du tust, doch bitte nachvollziehbar auf.

Also:   mit z:= ...    ist [mm] \oberline{z}= [/mm] ...,

und ich erhalte

[mm] e^{\overline{z}}=e^{...}= [/mm] ... = ...,

sowie

[mm] \overline{e^z}=\overline{e^{....}} =\overline{....}. [/mm]


Bitte keine Zwischenschritte auslassen.

So kann man verfolgen, was Du tust, auch wo Du ggf. Fehler machst.

Gruß v. Angela




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Komplexe e Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Sa 24.01.2009
Autor: tunetemptation

Also e [mm] ^\overline{z}: [/mm] e^(a-ib) = [mm] e^a(cos(b)-i*sin(b)) [/mm]
= [mm] e^a*cos(b)-e^a*sin(b)i [/mm]
und [mm] \overline{e^z}: -e^{a+ib}=-e^a(cos(b)+i*sin(b)) [/mm]
= [mm] -e^a*cos(b)-e^a*sin(b)i [/mm]

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Komplexe e Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Sa 24.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Also e [mm]^\overline{z}:[/mm] e^(a-ib) = [mm]e^a(cos(b)-i*sin(b))[/mm]
>  = [mm]e^a*cos(b)-e^a*sin(b)i[/mm]

>  und [mm] \overline{e^z}: -e^{a+ib} [/mm]

Hallo,

Du behauptest hier gerade, daß das konjugiert komplexe einer Zahl ihr Negatives ist, was natürlich nicht der Fall ist. Sondern?

Gruß v. Angela




[mm] =-e^a(cos(b)+i*sin(b)) [/mm]

>  =
> [mm]-e^a*cos(b)-e^a*sin(b)i[/mm]  


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Komplexe e Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Sa 24.01.2009
Autor: tunetemptation

Das weiß ich eben nicht was [mm] \overline{e^(a+ib)} [/mm] ist ???

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Komplexe e Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Sa 24.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Das weiß ich eben nicht was [mm]\overline{e^(a+ib)}[/mm] ist ???

Wenn Du weißt, wie man aus einer komplexen Zahl ihr konjugiert- Komplexes bekommt, weißt Du genau.


[mm] \overline{e^{a+ib}} [/mm] bedeutet, daß Du das Konjugiert-Komplexe von [mm] e^{a+ib} [/mm] hinschreiben sollst. Was ist denn [mm] e^{a+ib}? [/mm]

So, und das ist nun zu konjugieren.

Gruß v. Angela

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Komplexe e Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Sa 24.01.2009
Autor: tunetemptation

ja dass ist [mm] e^a(cos(b)+sin(b)i) [/mm]
Beim kon. kom. muss der realteil rausfallen also müsste es e^(a-ib) sein

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Komplexe e Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Sa 24.01.2009
Autor: angela.h.b.


> ja dass ist [mm]e^a(cos(b)+sin(b)i)[/mm]
>  Beim kon. kom. muss der realteil rausfallen also müsste es
> e^(a-ib) sein  

Erneut der Appell: bitte ein nachvollziehbarer Aufschreib.

Was ist denn so schlimm daran, zu schreiben  [mm] e^{a+ib}=e^a(cos(b)+sin(b)i) [/mm]  ?

>  Beim kon. kom. muss der realteil rausfallen

Quatsch. Bein Konjugieren dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils um, also hat man

[mm] \overline{e^{a+ib}}=\overline{e^a(cos(b)+sin(b)i)}= e^a(cos(b) [/mm] - sin(b)i).

Gruß v. Angela

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