Komplexe Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Do 06.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Versuchen Sie unter Verwendung des Quotienten- oder des Wurzelkriteriums die absolute Konvergenz nachzuweisen. Berechnen Sie zusätzlich den Grenzwert.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k [/mm] |
Hallo,
wie schon oben erwähnt soll ich die absolute Konvergenz dieser wunderschönen komplexen Reihe mit dem Wurzelkriterium/Quotientenkriterium nachweisen.
Ich schreibe einfach mal auf was ich mir hierzu gedacht habe und hoffe das Ihr mir vielleicht auf die Sprünge helfen könnt.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k
[/mm]
Das schaut sehr nach einer Geometrischen Reihe aus:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] konvergiert für |q|<1
Ich untersuche den betrag von meinem q:
[mm] |\bruch{1-i}{2+i}|=\wurzel{z\overline{z}}=\wurzel{(\bruch{1-i}{2+i})*(\bruch{1+i}{2-i})}=\wurzel{\bruch{2}{5}}
[/mm]
In meinen Fall ist q gleich [mm] \wurzel{\bruch{2}{5}}<1
[/mm]
Das bedeutet die Reihe konvergiert.
Für den Grenzwert gilt: [mm] \summe_{k=0}^{m}kq^k=\bruch{1}{(1-q)^2}(1-(m+1)q^{m}+mq^{m+1})
[/mm]
So. Da ich aber die Konvergenz mit einen der beiden (Wurzel, Quotienten) Kriterien beweisen soll bin ich ja noch nicht fertig.
Unsere Definition des Quotientenkriteriums:
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] mit [mm] a_k\not=0 [/mm] für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] konvergiert absolut, wenn es ein q [mm] \in [/mm] [0,1) gibt mit [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|\le [/mm] q für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] ab einem Index N.
Unsere Definition des Wurzelkriteriums:
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] mit [mm] a_k\not=0 [/mm] für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] konvergiert absolut, wenn es ein q [mm] \in [/mm] [0,1) gibt mit [mm] \wurzel[k]{|a_k|}\le [/mm] q für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] ab einem Index N.
In diesem Fall kann ich das Quotientenkriterium nicht anwenden weil mein [mm] a_k=a_0=0 [/mm] ist oder? Bzw. mein erstes Glied ist 0 und ich würde durch 0 teilen. Ist das so korrekt oder habe ich das mal wieder völlig fehlinterpretiert.
Danke im voraus
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
doch, du kannst das QK schon anwenden.
Beachte, dass $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k [/mm] $ konvergiert.
Man muss nicht fordern, dass alle [mm] $a_k\neq [/mm] 0 $ sind, wenn fast alle [mm] $a_k$ [/mm] nicht verschwinden, reicht das auch.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 06.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Na dann probier ich doch das gleich mal aus:
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{|(k+1)(\bruch{1-i}{2+i})^{k+1}|}{|(k)(\bruch{1-i}{2+i})^{k}|}
[/mm]
Umformen mit Hilfe das k [mm] \in \IN_0
[/mm]
[mm] \bruch{|\bruch{1-i}{2+i}|^{k+1}*(k+1)}{|\bruch{1-i}{2+i}|^{k}*(k)}
[/mm]
Einsetzen des Betrags der Komplexen Zahl den ich vorhin schon berechnet habe:
[mm] \bruch{(\wurzel{\bruch{2}{5}})^{k+1}*(k+1)}{(\wurzel{\bruch{2}{5}})^{k}*(k)}
[/mm]
Vereinfacht kommt bei mir dann raus:
[mm] \wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k}
[/mm]
Jetzt den Lim: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k}=\wurzel{\bruch{2}{5}}
[/mm]
Da [mm] \wurzel{\bruch{2}{5}}\le [/mm] q (q [mm] \in [/mm] [0,1)) konvergiert die Reihe absolut.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ok, das sieht gut aus.
Was du allerdings mit ''$ [mm] \wurzel{\bruch{2}{5}}\le [/mm] $ q (q $ [mm] \in [/mm] $ [0,1))'' sagen willst, ist mir nicht ganz klar.
Dass man $q= [mm] \wurzel{\bruch{2}{5}}$ [/mm] wählen kann geht aus deiner Rechnung nicht hervor. Du zeigst lediglich die Existenz eines [mm] $q\in [/mm] [0,1)$, sodass $ [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|
Die ist jedenfalls immer dann gesichert, wenn der Limes vom obigem Quotient echt kleiner als 1 ist.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 06.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ich wollte einfach zeigen das [mm] \wurzel{\bruch{2}{5}} [/mm] kleiner als 1 ist oder bzw in dem intervall q [0,1) ist
Übrigens vielen Dank für die Antwort. Wenn man das Zeug mal versteht und auf die richtige Antwort kommt macht das richtig Spaß.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich wollte einfach zeigen das [mm]\wurzel{\bruch{2}{5}}[/mm] kleiner
> als 1 ist
echt? Das folgt etwa aus: Für alle $r [mm] \ge [/mm] 0$ und $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
$r < 1$ [mm] $\iff$ $r^{m/n} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Natürlich kannst Du auch eine noch einfachere Aussage hinschreiben...
Oder, Du machst es so (wir nutzen, für $r [mm] \ge 0\,,$ [/mm] bei $r [mm] \in (1,\infty) \iff r^2 \in (1,\infty)$ [/mm] die Richtung [mm] $\Longrightarrow$):
[/mm]
Angenommen, es wäre [mm] $\sqrt{2/5} [/mm] > [mm] 1\,.$ [/mm] Dann folgte
[mm] $2/5=\sqrt{2/5}*\sqrt{2/5} [/mm] > [mm] 1*1=1\,.$
[/mm]
Widerspruch. Zudem kann [mm] $\sqrt{2/5}=1$ [/mm] nicht sein, weil...? Schlussendlich muss
wegen [mm] $\sqrt{2/5} [/mm] > 0$ also $0 < [mm] \sqrt{2/5} [/mm] < 1$ sein!
> oder bzw in dem intervall q [0,1) ist
Was soll [mm] $\red{q\,} [0,1)\,$ [/mm] bedeuten?
> Übrigens vielen Dank für die Antwort. Wenn man das Zeug
> mal versteht und auf die richtige Antwort kommt macht das
> richtig Spaß.
So soll es sein. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
das q[0,1) soll bedeuten q [mm] \in [/mm] [0,1). Das heißt wenn ich [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] berechne und ich ein Ergebnis in dem intervall [0,1) bekomme dann konvergiert meine Folge absolut.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Fr 07.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> das q[0,1) soll bedeuten q [mm]\in[/mm] [0,1). Das heißt wenn ich
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] berechne
> und ich ein Ergebnis in dem intervall [0,1) bekomme dann
> konvergiert meine Folge absolut.
Deine Reihe konvergiert dann absolut.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ja, du hast natürlich recht. Die Reihe konvergiert dann absolut. Hab mich irgendwie vertippt. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, du hast natürlich recht. Die Reihe konvergiert dann
> absolut. Hab mich irgendwie vertippt. :)
Hauptsache, Du hast es verstanden. Und das war ja der Fall.
(Selbst mit jahrelanger Erfahrung passieren manchen Leuten auch solche
Versprecher, wie Du oben einen als Vertipper hast. Das ist einfach in einem
*unbedachten* Moment passiert.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Passiert mir in letzter Zeit öfter. Hab das alles auf englisch gelernt und hab immer noch Sequence und Series im Kopf. Die Umstellung läuft noch. ;)
Ich hätte mal noch ne kleine Frage zur Berechnung des Grenzwerts. Auf dem Blatt steht wir sollen uns an dieser Summenformel orientieren:
[mm] \summe_{k=0}^{m}kq^k=\bruch{q}{(1-q)^2}(1-(m+1)q^{m}+mq^{m+1}) [/mm]
Aber die Ist ja logischerweise nur für endliche Summen. Wenn ich jetzt aber die Reihe bis ins unendliche Summieren will, welchen ausdruck verwende ich dann für m?
So schaut das dann bei mir aus:
[mm] \summe_{k=1}^{infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k=\bruch{(\bruch{1-i}{2+i})}{(1-(\bruch{1-i}{2+i}))^2}(1-(m+1)(\bruch{1-i}{2+i})^{m}+m(\bruch{1-i}{2+i})^{m+1})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Passiert mir in letzter Zeit öfter. Hab das alles auf
> englisch gelernt und hab immer noch Sequence und Series im
> Kopf. Die Umstellung läuft noch. ;)
>
> Ich hätte mal noch ne kleine Frage zur Berechnung des
> Grenzwerts. Auf dem Blatt steht wir sollen uns an dieser
> Summenformel orientieren:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{m}kq^k=\bruch{q}{(1-q)^2}(1-(m+1)q^{m}+mq^{m+1})[/mm]
>
> Aber die Ist ja logischerweise nur für endliche Summen.
> Wenn ich jetzt aber die Reihe bis ins unendliche Summieren
> will, welchen ausdruck verwende ich dann für m?
dann muss [mm] $\lim_{m\to \infty}\summe_{k=0}^{m}kq^k$ [/mm] betrachtet werden. Beachte übrigens,
dass Du hier das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty kq^k$ [/mm] im "Grenzwert-Sinne" benutzt,
es hat ja i.a. zwei (mögliche) Bedeutungen:
![[]](/images/popup.gif) Kapitel 6, Seite 49 (Zählung rechts oben), nach den "!!!"
> So schaut das dann bei mir aus:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k=\bruch{(\bruch{1-i}{2+i})}{(1-(\bruch{1-i}{2+i}))^2}(1-(m+1)(\bruch{1-i}{2+i})^{m}+m(\bruch{1-i}{2+i})^{m+1})[/mm]
ich finde den Tipp nicht ganz gelungen, denn dann sollte wenigstens
dabeistehen, dass auch
[mm] $\lim_{m \to \infty} m*q^m=0$
[/mm]
für $|q| < 1$ benutzt werden darf.
Dann würde ich eher einfach mal
$(-1,1) [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto {\left(\sum_{k=0}^\infty x^{k+1}\right)}\,'$ [/mm] (rechts das Ableitungszeichen beachten!)
berechnen lassen, mit dem Hinweis, dass man später lernen wird, warum
hier "Summation und Differentiation" vertauscht werden darf.
(Beachte, dass nach dem Ableiten rechts noch nicht ganz das da steht, was
hier gebraucht wird. Aber Du kannst dann die Reihe als Summe zweier
konvergenter Reihen schreiben...)
Beachte:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty x^{k+1}=x*\sum_{k=0}^\infty x^k=x*\frac{1}{1-x}$
[/mm]
oder, eine andere Möglichkeit, das einzusehen
[mm] $\sum_{k=0}^\infty x^{k+1}=-x^0+x^0+\sum_{k=0}^\infty x^{k+1}=-x^0+\sum_{k=0}^\infty x^{k}=-1+\sum_{k=0}^\infty x^k=-1+\frac{1}{1-x}=\frac{x}{1-x}\,.$
[/mm]
Dieser (rechte) Term sollte natürlich auch abgeleitet werden.
P.S. Ich habe dazu aber irgendwo auch mal eine Alternativherleitung gemacht,
die noch elementarer ist. Ich schau' mal, ob ich gleich den Link noch finde...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke für die viele Mühe aber das schaut alles relativ fremd aus bzw. wir hatten das noch nicht in der Vorlesung. Gibts für diesen Grenzwert nicht eine einfachere Formel wie zum Beispiel die Allg. Geometrische Summenformel? Unser Dozent meinte das lässt sich ganz einfach und locker berechnen.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die viele Mühe aber das schaut alles relativ
> fremd aus bzw. wir hatten das noch nicht in der Vorlesung.
> Gibts für diesen Grenzwert nicht eine einfachere Formel
> wie zum Beispiel die Allg. Geometrische Summenformel? Unser
> Dozent meinte das lässt sich ganz einfach und locker
> berechnen.....
locker und einfach ist gut. Du kannst die Formel, die Dein Dozent angeschrieben
hat, sicher irgendwie herleiten (falls man keine Idee hat, dann beweist man
sie wenigstens mit einem Induktionsbeweis!) und dann $m [mm] \to \infty$ [/mm] laufen
lassen, musst dann aber [mm] $m*q^m \to [/mm] 0$ begründen (für $|q| < [mm] 1\,$).
[/mm]
Eine andere Idee geht so:
1. Zeige
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (k+1)q^k$
[/mm]
konvergiert (das geht mit WK, QK, ...).
2. Mit 1. gilt
[mm] $\sum_{k=0}^\infty k*q^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1-1)q^k=\left(\sum_{k=0}^\infty (k+1)q^k\right)-\sum_{k=0}^\infty q^k=\left(\sum_{k=0}^\infty (k+1)q^k\right)-\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
3. Es gilt auch (Indexshift!)
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (k+1)q^k=\frac{1}{q}\sum_{k=1}^\infty kq^k=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^\infty kq^k\,,$
[/mm]
bei der letzten Gleichheit beachte [mm] $0*q^0=0\,.$
[/mm]
Benutze das in 2.!
Soweit ich weiß, habe ich das aber in dem Dokument, was ich in der Mitteilung
angehängt hatte, ähnlich gemacht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ok, momentan kann ich das alles noch nicht nachvollziehen. Ich setze mich jetzt gleich mal hin und versuche das zu verarbeiten. Danke bis hierhin. Ohne Eure Hilfe würde ich vieles nicht verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Wenn ich mich nicht gerade dauernd verrechne, ist
[mm] $\sum_{k=0}^\infty kq^k=\frac{\red{q}}{(1-q)^2}\,.$
[/mm]
Ich glaube, das passt nicht so ganz zu Eurer Hilfsformel... Einfach mal
kontrollieren! (Ist klar, wie man das wenigstens mit einem Rechner *näherungsweise*
testen kann?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Also ich schreibe jetzt einfach mal wortwörtlich ab was da steht nicht das ich das hier total fehlinterpretiere.
Berechnen Sie außerdem für (a) (das ist in diesem Fall das problem um das es hier geht) den Grenzwert. Denken Sie dafür an Aufgabe 3.1
Aufgabe 3.1 auf einem anderen Übungsblatt war:
Leiten Sie für [mm] q\not=1 [/mm] und [mm] m\in\IN_0 [/mm] die Summenformel
[mm] \summe_{k=0}^{m}kq^k=\bruch{q}{(1-q)^2}(1-(m+1)q^{m}+mq^{m+1})
[/mm]
her.
"Ist klar, wie man das wenigstens mit einem Rechner *näherungsweise*
testen kann?"
Edit: Bei Mathematica bekomme ich auch [mm] \bruch{q}{(1-q)^2} [/mm] für |q| <1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=0}^{m}kq^k=\bruch{q}{(1-q)^2}(1-(m+1)q^{m}+mq^{m+1})[/mm]
Ja, für alle [mm] m\in\IN_0 [/mm] und [mm] $q\not=1$. [/mm] Mit $|q|<1$ folgt
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}kq^k=\frac{q}{(1-q)^2} [/mm] (Wieso?).
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ahhhhh ich glaube ich habe verstanden,
weil [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}q^k=0 [/mm] für |q|<1
Das bedeutet die klammer = 1 und $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}kq^k=\frac{q}{(1-q)^2} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Du musst genauer arbeiten / aufschreiben.
> weil [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}q^k=0[/mm] für |q|<1.
Ja, aber noch wichtiger ist hier, dass die Folge
[mm] \left(n*q^n\right)_{n\in\IN}
[/mm]
für alle [mm] $|q|<1\$ [/mm] eine Nullfolge ist.
> Das bedeutet die klammer = 1 und
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}kq^k=\frac{q}{(1-q)^2}[/mm]
Richtig.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Wenn ich mein q in die Formel $ [mm] \sum_{k=0}^\infty kq^k=\frac{\red{q}}{(1-q)^2}\,. [/mm] $einsetzte bekomme ich für den Grenzwert:
[mm] \bruch{-13-9i}{25} [/mm] kann das sein? Ich hab's jetzt in Mathematica eingegeben aber ich kann gerne auch nochmal explizit hier nachrechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Wenn ich mein q in die Formel [mm]\sum_{k=0}^\infty kq^k=\frac{\red{q}}{(1-q)^2}\,. [/mm]
Richtig für alle $|q|<1$.
> einsetzte
> bekomme ich für den Grenzwert:
>
> [mm]\bruch{-13-9i}{25}[/mm] kann das sein? Ich hab's jetzt in
> Mathematica eingegeben aber ich kann gerne auch nochmal
> explizit hier nachrechnen.
Ich komme auf etwas anderes. Rechne mal vor.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Okay, lost gehts:
Wie ich oben schon gezeigt habe ist |q|<1, daher kann ich die Formel benutzen:
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty kq^k=\frac{\red{q}}{(1-q)^2}\,. [/mm] $
Eingesetzt sieht das dann so aus:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} k(\bruch{1-i}{2+i})^k=\bruch{(\bruch{1-i}{2+i})}{(1-(\bruch{1-i}{2+i}))^2}
[/mm]
Um das alles einfacher zu gestalten nehme ich einfach die komplexe konjugierte von 2+i=2-i und multipliziere Zähler und Nenner damit.
[mm] \bruch{1-i}{2+i}*\bruch{2-i}{2-i}=\bruch{1-3i}{5}
[/mm]
Einsetzen und ausmultiplizieren:
[mm] \bruch{\bruch{1-3i}{5}}{(1-(\bruch{1-3i}{5}))^2}= \bruch{\bruch{1-3i}{5}}{(1-(\bruch{1-3i}{5}))*(1-(\bruch{1-3i}{5}))}=\bruch{(\bruch{1-3i}{5})}{1-2*(\bruch{1-3i}{5})+(\bruch{-6i-8}{25})}=\bruch{\bruch{1-3i}{5}}{\bruch{7+24i}{25}}=\bruch{1-3i}{5}*\bruch{25}{7+24i}
[/mm]
Jetzt kann ich die 5 kürzen:
[mm] \bruch{1-3i}{i}*\bruch{5}{7+24i}=\bruch{5-15i}{7+24i}
[/mm]
jetzt kann ich wieder Zähler und Nenner mit der komplex konjugierten multiplizieren:
[mm] \bruch{5-15i}{7+24i}*\bruch{7-24i}{7-24i}=\bruch{-13-9i}{25}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe falsch gerechnet. Tut mir leid für den Umstand.
Deine Rechnung ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
No problem at all! Ich sollte dankbar sein das Ihr mir überhaupt helft!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Fr 07.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> No problem at all! Ich sollte dankbar sein das Ihr mir
> überhaupt helft!
Gerne. Das nächste Mal sowas als Mitteilung abschicken. 
(Ich antworte hier als Mitteilung, damit die Frage verschwindet.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ah sorry. Ich vergess das immer wieder :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Passiert mir in letzter Zeit öfter. Hab das alles auf
> englisch gelernt und hab immer noch Sequence und Series im
> Kopf. Die Umstellung läuft noch. ;)
>
> Ich hätte mal noch ne kleine Frage zur Berechnung des
> Grenzwerts. Auf dem Blatt steht wir sollen uns an dieser
> Summenformel orientieren:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{m}kq^k=\bruch{q}{(1-q)^2}(1-(m+1)q^{m}+mq^{m+1})[/mm]
>
> Aber die Ist ja logischerweise nur für endliche Summen.
> Wenn ich jetzt aber die Reihe bis ins unendliche Summieren
> will, welchen ausdruck verwende ich dann für m?
>
> So schaut das dann bei mir aus:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{infty}k(\bruch{1-i}{2+i})^k=\bruch{(\bruch{1-i}{2+i})}{(1-(\bruch{1-i}{2+i}))^2}(1-(m+1)(\bruch{1-i}{2+i})^{m}+m(\bruch{1-i}{2+i})^{m+1})[/mm]
ich hatte mal ein (hierzu passendes) Dokument zusammengeschrieben:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Ableitung geometrischer Reihen
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke! Ich lese es mir mal durch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Na dann probier ich doch das gleich mal aus:
>
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{|(k+1)(\bruch{1-i}{2+i})^{k+1}|}{|(k)(\bruch{1-i}{2+i})^{k}|}[/mm]
>
> Umformen mit Hilfe das k [mm]\in \IN_0[/mm]
>
> [mm]\bruch{|\bruch{1-i}{2+i}|^{k+1}*(k+1)}{|\bruch{1-i}{2+i}|^{k}*(k)}[/mm]
>
> Einsetzen des Betrags der Komplexen Zahl den ich vorhin
> schon berechnet habe:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{\bruch{2}{5}})^{k+1}*(k+1)}{(\wurzel{\bruch{2}{5}})^{k}*(k)}[/mm]
>
> Vereinfacht kommt bei mir dann raus:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k}[/mm]
>
> Jetzt den Lim: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k}=\wurzel{\bruch{2}{5}}[/mm]
>
> Da [mm]\wurzel{\bruch{2}{5}}\le[/mm] q (q [mm]\in[/mm] [0,1)) konvergiert die
> Reihe absolut.
wenn Du das QK in der
Formulierung von Satz 6.19
anwendest, reicht es, mit dem Limes zu arbeiten (denn dieser stimmt im
Falle der Existenz mit dem Limsup überein, dazu findest Du in dem Skript
auch einen Satz).
Du benutzt das QK aber wohl eher
in dieser Formulierung.
Dann kannst Du oben genauer so argumentieren:
Wegen
[mm] $\wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k}\to \sqrt{2/5}$
[/mm]
existiert zu [mm] $\epsilon:=\frac{1}{2}\min\{\sqrt{2/5}-0;\;1-\sqrt{2/5}\} [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] so,
dass für alle $k [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $\wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k} \in \left(\wurzel{\bruch{2}{5}}-\epsilon,\;\sqrt{2/5}+\epsilon\right)\,.$
[/mm]
Also gilt insbesondere für alle $k [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $|a_{k+1}/a_k|=\wurzel{\bruch{2}{5}}+\bruch{\wurzel{\bruch{2}{5}}}{k} \le \sqrt{2/5}+\epsilon \le \sqrt{2/5}+\frac{1}{2}(1-\sqrt{2/5})=\frac{1}{2}*\underbrace{(1+\sqrt{2/5})}_{< 2} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Wichtig bei dieser Formulierung des QK ist, sich auch mal das Bsp.
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
[/mm]
anzugucken. Hier ist nämlich
[mm] $|a_{k+1}/a_k|=\frac{k}{k+1} \to 1\,.$
[/mm]
Es ist also [mm] $\limsup_{k \to \infty} |a_{k+1}/a_k|=1\,,$ [/mm] nach der Formulierung in Satz 6.19
oben ist also keine Aussage über die Konvergenz möglich.
Und Du wirst hier auch kein $q [mm] \in [/mm] [0,1)$ mit
[mm] $|a_{k+1}/a_k| \le [/mm] q$
für alle bis auf endlich viele [mm] $k\,$ [/mm] finden können...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke für den ausführlichen post. So wie ich das verstehe hast du quasi die definition des Grenzwerts verwendet um zu zeigen das die Folge konvergiert richtig?
Du zeigst das die Reihenglieder ab einem N die Epsilon Umgebung nicht mehr verlassen wenn ich das mal so primitiv sagen kann.
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