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Forum "Topologie und Geometrie" - Kofinale Topologie, Konvergenz
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Kofinale Topologie, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Fr 11.09.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Wir haben die kofinale Topologie auf einer Menge X definiert durch:
[mm] O_{C_o}:= \{A \subseteq X | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset [/mm]
Stimmt es dass jede Folge in X  gegen jedes x [mm] \in [/mm] X konvergiert?

Hallo,
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in X.
Sei x [mm] \in [/mm] X beliebig aber fix.

Sei [mm] U_x \in [/mm] U(x) eine Umgebung um x, d.h. [mm] \exists [/mm] O [mm] \in O_{C_o} [/mm] : x [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq U_x [/mm]
O [mm] \in O_{C_o} [/mm] d.h. [mm] X\setminus [/mm] O ist endlich.
Da X [mm] \setminus U_x \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] O  folgt [mm] X\setminus U_x [/mm] endlich.

Wenn [mm] X\setminus U_x [/mm] endlich ist so muss es aber einen Index N geben sodass  [mm] x_n \in U_x \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N

Da x beliebig gewählt war folgt : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in X:x_n \rightarrow [/mm] x

Korrekt?
LG,
sissi

        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Fr 11.09.2015
Autor: fred97


> Wir haben die kofinale Topologie auf einer Menge X
> definiert durch:
>  [mm]O_{C_o}:= \{A \subseteq X | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset[/mm]
>  
> Stimmt es dass jede Folge in X  gegen jedes x [mm]\in[/mm] X
> konvergiert?
>  Hallo,
>  Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in X.
>  Sei x [mm]\in[/mm] X beliebig aber fix.
>  
> Sei [mm]U_x \in[/mm] U(x) eine Umgebung um x, d.h. [mm]\exists[/mm] O [mm]\in O_{C_o}[/mm]
> : x [mm]\in[/mm] O [mm]\subseteq U_x[/mm]
> O [mm]\in O_{C_o}[/mm] d.h. [mm]X\setminus[/mm] O ist endlich.
>  Da X [mm]\setminus U_x \subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] O  folgt
> [mm]X\setminus U_x[/mm] endlich.
>  
> Wenn [mm]X\setminus U_x[/mm] endlich ist so muss es aber einen Index
> N geben sodass  [mm]x_n \in U_x \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>  
> Da x beliebig gewählt war folgt : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in X:x_n \rightarrow[/mm]
> x
>
> Korrekt?

Nein. Nimm mal an, X enthält mind. 2 verschiedene Elemente x und y.

Setze [mm] x_n:=x [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und G:= X [mm] \setminus \{x\}. [/mm] Dann ist G eine offene Umgebung von y, [mm] x_n \in [/mm] G für kein(!) n, also konvergiert [mm] (x_n) [/mm] nicht gegen y.

FRED

>  LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Fr 11.09.2015
Autor: sissile

Hallo
Stimmt ich habe die konstanten Folgen vergessen einzubeziehen!
D.h. die konstante Folge [mm] x_n=x [/mm] konvergiert bezüglich der kofinalen Topologie  nur gegen x.

D.h. nur wenn die Menge [mm] \{x_n| n \in \mathbb{N}\} [/mm] unendlich ist (in einer Menge werden zwei gleiche Elemente nur einmal gezählt) gilt meine Behauptung dass jede Folge in X  gegen jedes x $ [mm] \in [/mm] $ X konvergiert.
Oder kann man das so auch nicht formulieren?
Gibt es eine geschicktere Aussage über Konvergenz von Folgen in dieser Topologie?

LG,
sissi


Bezug
                        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Fr 11.09.2015
Autor: tobit09

Hallo sissile!


>  Stimmt ich habe die konstanten Folgen vergessen
> einzubeziehen!
>  D.h. die konstante Folge [mm]x_n=x[/mm] konvergiert bezüglich der
> kofinalen Topologie  nur gegen x.

Ja.


> D.h. nur wenn die Menge [mm]\{x_n| n \in \mathbb{N}\}[/mm] unendlich
> ist (in einer Menge werden zwei gleiche Elemente nur einmal
> gezählt) gilt meine Behauptung dass jede Folge in X  gegen
> jedes x [mm]\in[/mm] X konvergiert.
>  Oder kann man das so auch nicht formulieren?

Die Bedingung, dass [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] unendlich ist, ist zwar im Falle [mm] $|X|\not=1$ [/mm] notwendig für die Konvergenz von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen jedes [mm] $x\in [/mm] X$, wie man sich überlegen kann.

Sie ist jedoch nicht hinreichend:

Betrachte z.B. [mm] $X:=\IR$ [/mm] und die durch [mm] $(0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,\ldots)$ [/mm] angedeutete Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$. [/mm]
Obwohl [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}=\IN_0$ [/mm] unendlich ist, konvergiert die Folge bezüglich unserer Topologie nur gegen 0.

(Überlege dir am besten, dass diese Folge tatsächlich gegen 0 konvergiert und gegen jeden anderen Wert [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] nicht konvergiert.)


>  Gibt es eine geschicktere Aussage über Konvergenz von
> Folgen in dieser Topologie?

Ja: [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert bezüglich unserer Topologie genau dann gegen $x$, wenn für jedes [mm] $y\in [/mm] X$ mit [mm] $y\not=x$ [/mm] die Menge [mm] $M_y:=\{n\in\IN\;|\;x_n=y\}$ [/mm] endlich ist, wenn die Folge also jeden Wert außer x nur endlich oft annimmt.

(Kannst du dieses Konvergenzkriterium beweisen?)


Somit liegt für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] einer der folgenden Fälle vor:

1. Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ ist [mm] $M_x$ [/mm] endlich, d.h. die Folge nimmt jeden Wert nur endlich oft an.
Dann konvergiert die Folge gegen jeden Punkt [mm] $x\in [/mm] X$.

2. Es gibt genau ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $M_x$ [/mm] unendlich, d.h. die Folge nimmt den Wert x unendlich oft an, alle anderen Werte nur endlich oft.
Dann konvergiert die Folge genau gegen den Punkt x und gegen keinen weiteren.

3. Es gibt mindestens zwei [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $M_x$ [/mm] unendlich, d.h. die Folge nimmt mehrere Werte unendlich oft an.
Dann ist die Folge divergent.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:15 Sa 12.09.2015
Autor: sissile

Danke für die Infos.
Ja den Fall, dass die Menge X endlich ist, lassen wir mal beiseite denn dann haben wir die diskrete Topologie.

[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \forall U_x \in \mathcal{U}(x) \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
Sei y [mm] \in [/mm] X mit [mm] y\not=x [/mm]
ZZ.: [mm] |M_y| [/mm] < [mm] \infty [/mm]
Sei [mm] U_x :=X\setminus\{y\} [/mm] so [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
D.h. [mm] x_n \not=y [/mm]
[mm] \rightarrow M_y \subseteq \{1,2,..,N-1\} [/mm]

[mm] \Leftarrow [/mm]
Sei [mm] U_x \in \mathcal{U}(x) [/mm]
Nach meiner Bemerkung in Post 1 ist  [mm] U_x [/mm]  offen, da [mm] U_x\not= \emptyset [/mm] folgt [mm] X\setminus U_x [/mm] ist endlich.
ZZ.: [mm] \exists [/mm] N : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
Für alle y [mm] \in X\setminus U_x [/mm] ist [mm] M_y [/mm] endlich. Folge nimmt jeden Wert(endlich viele) in [mm] X\setminus U_x [/mm] nur endlich oft an.
Hier weiß ich nicht wie ich den Beweis am besten zu Ende führe?


Wie ist das eigentlich mit dem Häufungswert?
[mm] \forall U_x \in \mathcal{U}(x): \forall [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
gibt es da ein "nicht so scharfes" Kriterium?

LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Sa 12.09.2015
Autor: tobit09


> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]\forall U_x \in \mathcal{U}(x) \exists[/mm] N: [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  Sei y [mm]\in[/mm] X mit [mm]y\not=x[/mm]
>  ZZ.: [mm]|M_y|[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>  Sei [mm]U_x :=X\setminus\{y\}[/mm] so [mm]\exists[/mm] N: [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  D.h. [mm]x_n \not=y[/mm]
>  [mm]\rightarrow M_y \subseteq \{1,2,..,N-1\}[/mm]

Genau. [ok]

Also ist [mm] $M_y$ [/mm] endlich, was zu zeigen war.


> [mm]\Leftarrow[/mm]
>  Sei [mm]U_x \in \mathcal{U}(x)[/mm]
>  Nach meiner Bemerkung in Post
> 1 ist  [mm]U_x[/mm]  offen, da [mm]U_x\not= \emptyset[/mm] folgt [mm]X\setminus U_x[/mm]
> ist endlich.
>  ZZ.: [mm]\exists[/mm] N : [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  Für alle y
> [mm]\in X\setminus U_x[/mm] ist [mm]M_y[/mm] endlich. Folge nimmt jeden
> Wert(endlich viele) in [mm]X\setminus U_x[/mm] nur endlich oft an.

Ja. [ok]


>  Hier weiß ich nicht wie ich den Beweis am besten zu Ende
> führe?

Anschauliche Plausibilitätsbetrachtung:
Wenn jeder der endlich vielen Werte in [mm] $X\setminus U_x$ [/mm] nur endlich oft angenommen wird, wird "weit genug draußen" kein Wert in [mm] $X\setminus U_x$ [/mm] mehr angenommen, d.h. "weit genug draußen" liegen alle Werte der Folge in [mm] $U_x$. [/mm]

Sauberer Beweis:
Die Menge

       [mm] $M:=\bigcup_{y\in X\setminus U_x}M_y\subseteq\IN$ [/mm]

ist als endliche Vereinigung endlicher Mengen selbst wieder endlich.
Daher besitzt sie eine obere Schranke [mm] $N'\in\IN$ [/mm] (z.B. [mm] $N':=\max [/mm] M$ im Falle [mm] $M\not=\emptyset$; [/mm] im Falle [mm] $M=\emptyset$ [/mm] kann $N'$ willkürlich z.B. als 1 gewählt werden).
Die natürliche Zahl $N:=N'+1$ leistet erfüllt dann wie gewünscht [mm] $x_n\in U_x$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
Wäre [mm] $x_n\notin U_x$ [/mm] für ein [mm] $n\ge [/mm] N$, wäre [mm] $x_n\in X\setminus U_x$ [/mm] und damit [mm] $n\in M_{x_n}\subseteq [/mm] M$. Nach Wahl von N' folgte dann [mm] $n\le [/mm] N'<N$ im Widerspruch zu [mm] $n\ge [/mm] N$.

Bezug
                                        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Sa 12.09.2015
Autor: tobit09


> Wie ist das eigentlich mit dem Häufungswert?
>  [mm]\forall U_x \in \mathcal{U}(x): \forall[/mm] N [mm]\in \mathbb{N}: \exists[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  gibt es da ein "nicht so scharfes"
> Kriterium?

Es gilt folgendes Kriterium:

      $x$ ist Häufungswert von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ $\iff$ $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist unendlich oder [mm] $M_x:=\{n\in\IN\;|\;x_n=x\}$ [/mm] ist unendlich.


Für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] liegt damit einer der folgenden Fälle vor:

1. [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist unendlich.
Dann ist jedes [mm] $x\in [/mm] X$ Häufungswert von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$. [/mm]

2. [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist endlich.
Dann sind nur diejenigen [mm] $x\in [/mm] X$ Häufungswert, für die [mm] $M_x$ [/mm] unendlich ist, d.h. die schon selbst unendlich oft angenommen werden.

Bezug
        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Fr 11.09.2015
Autor: tobit09

Randbemerkung für Interessierte:

Es gibt zu jeder Menge $X$ genau eine Topologie, bezüglich der alle Folgen in $X$ gegen jeden Punkt in $X$ konvergieren: Nämlich die triviale Topologie, die nur [mm] $\emptyset$ [/mm] und $X$ als offene Mengen hat.

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