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| Aufgabe | Kettenregel: Sind f : D [mm] \subseteq \IR^n \to \IR^m [/mm] und g : E [mm] \subseteq \IR^m \to \IR^k [/mm] differenzierbar an der Stelle [mm] x_0 \in [/mm] D bzw. [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) \in [/mm] E, dann ist auch die Verkettung g [mm] \circ [/mm] f differenzierbar an der Stelle [mm] x_0, [/mm] und die Ableitung ist das Produkt der Jacobi-Matrizen
[mm] \bruch{\partial(g \circ f)}{\partial x} (x_0) [/mm] = [mm] \bruch{\partial g}{\partial y}(y_0) [/mm] * [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0) [/mm] |
Hallo
ich habe wieder mal ein Verständnisproblem.
Es geht um die Funktion
g(t) = [mm] f(x_0 [/mm] + at)
wobei f : [mm] \IR^n \to \IR, [/mm] a ein Richtungsvektor und t ein Skalar ist.
Jetzt steht hier:
"Die Ableitung g'(0) ist nach der Kettenregel gegeben durch das Matrixprodukt
g'(0) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} (x_0) [/mm] * a = [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_j} (x_0) a_j"
[/mm]
Das kann ich soweit noch nachvollziehen: Ich habe die äußere Funktion f(y) und die innere Funktion [mm] x_0 [/mm] + at. Daher ist die Ableitung der Verkettung gleich dem Produkt aus der Ableitung der äußeren [mm] (\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0)) [/mm] Funktion und der Ableitung der inneren (a). Soweit sicher korrekt?
Nun geht es aber um die zweite Ableitung. Hier folgt angeblich (wieder) "aus der Kettenregel":
g''(0) = [mm] a^T [/mm] * [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) [/mm] * a
Wie kommt man darauf?
Ich denke mal, mit der Kettenregel kann ich zwar [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0) [/mm] ableiten (= [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) [/mm] * a)
Aber wie kommt es, dass dann bei der Ableitung von g'(0) noch a transponiert und vorangestellt wird? Das soll irgendwie "aus der Kettenregel" folgen?
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Kann mir hier keiner weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Mo 11.03.2019 | | Autor: | fred97 |
> Kann mir hier keiner weiterhelfen?
Habe ich vor einer Minute gemacht, so hoffe ich jedenfalls.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mo 11.03.2019 | | Autor: | fred97 |
$f: [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] sei in einer offenen Umgebung $U$ von [mm] $x_0 \in \IR^n$ [/mm] zweimal differenzierbar. Weiter sei $a [mm] \in \IR^n$ [/mm] ein Richtungsvektor.
Da U offen ist , gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit: [mm] $x_0+ta \in [/mm] U$ für $|t|< [mm] \delta.$
[/mm]
Für solche t sei [mm] $g(t):=f(x_0+ta)$.
[/mm]
Nach der Kettenregel ist g auf dem Intervall $I:=(- [mm] \delta, \delta)$ [/mm] differenzierbar und es gilt
$g'(t)= [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} (x_0+ta) \cdot [/mm] a = [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_j} (x_0+ta) a_j= \summe_{j=1}^{n} h_j(t)$,
[/mm]
wobei [mm] $h_j(t)=\bruch{\partial f}{\partial x_j} (x_0+ta) a_j.$
[/mm]
Dann ist (*) [mm] $g''(t)=\summe_{j=1}^{n} [/mm] h'_j(t)$.
Wieder ist, mit der Kettenregel:
[mm] $h_j'(t)= \sum_{i=1}^n\bruch{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} (x_0+ta)a_ia_j.$
[/mm]
Mit der Matrix $ [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0+ta) =(\bruch{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} (x_0+ta))$ [/mm] und (*) folgt dann
$g''(t)= [mm] a^T \cdot \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0+ta) \cdot [/mm] a,$
also
[mm] $g''(0)=a^T \cdot \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0) \cdot [/mm] a$.
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